Question

Resolver a equação logarítmica:

$log_{6} \sqrt{ \frac{2+x}{3} } = \frac{1}{2}$

Answer 1

Olá Mari!

De início, é bom ficarmos atentos quanto à condição de existência. Sabemos da definição de logaritmos que o logaritmando deve ser maior do que ZERO. Veja:

$\\ \mathsf{\sqrt{\frac{2 + x}{3}} > 0} \\\\ \mathsf{\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{3}} > 0} \\\\ \mathsf{\sqrt{2 + x} > 0} \\\\ \mathsf{2 + x > 0} \\\\ \boxed{\mathsf{x > - 2}}$
 
 Isso implica que: as raízes da equação, em questão, devem ser maiores que (- 2).
 
 Por conseguinte, vamos em busca da solução da equação.

$\\ \mathsf{\log_6 \sqrt{\frac{2 + x}{3}} = \frac{1}{2}} \\\\ \mathsf{6^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2 + x}{3}}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{2 + x}{3}} = \sqrt{6}} \\\\ \mathsf{\left (\sqrt{\frac{2 + x}{3}} \right )^2 = \left (\sqrt{6} \right )^2} \\\\ \mathsf{\frac{2 + x}{3} = 6} \\\\ \mathsf{2 + x = 18} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x = 16}}}$
 
 Antes de afirmar que 16 é a resposta procurada, devemos verificar se, de fato, este valor é solução da equação IRRACIONAL resolvida. Segue,

$\\ \mathsf{\sqrt{\frac{2 + x}{3}} = \sqrt{6}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{2 + 16}{3}} = \sqrt{6}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{18}{3}} = \sqrt{6}} \\\\ \mathsf{\sqrt{6} = \sqrt{6} \qquad \qquad (Verdadeira)}$
 
 Verificada a solução da equação irracional, finalizamos a questão avaliando se o valor de "x" satisfaz a condição de existência do logaritmo.
 
 Logo, concluímos que: $\mathsf{S = \left \{ 16 \right \}}$.
 
 Espero ter ajudado!!