Question

Resolver a Equação Diferencial Homogênea pelo método da substituição
URGENTE??

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$(4x-3y)\,dx+(2y-3x)\,dy=0$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $(4x-3y)\,dx$

$1+\dfrac{2y-3x}{4x-3y}\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$

Subtraia $1$ em ambos os lados da igualdade

$\dfrac{2y-3x}{4x-3y}\cdot\dfrac{dy}{dx}=-1$

Isole $\dfrac{dy}{dx}$

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4x-3y}{2y-3x}$

Podemos reescrever a fração à direita da igualdade da seguinte maneira:

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4-3\cdot\dfrac{y}{x}}{2\cdot\dfrac{y}{x}-3}$

Faça uma substituição $\dfrac{y}{x}=u$, em que $u=u(x)$.

Multiplicamos ambos os lados da igualdade por um fator $x$

$y=x\cdot u$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(x\cdot u)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))= y'(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada do produto entre duas ou mais funções é calculada pela regra do produto: $\dfrac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=\dfrac{df}{dx}\cdot g(x)+f(x)\cdot \dfrac{dg}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra do produto

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(x)\cdot u + x\cdot \dfrac{d}{dx}(u)$

Aplique a regra da cadeia e da potência

$1\cdot y^{1-1}\cdot\dfrac{dy}{dx}=1\cdot x^{1-1}\cdot u + x\cdot 1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=u+x\cdot \dfrac{du}{dx}$

Substituindo estes elementos na equação diferencial, temos:

$u+x\cdot \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{4-3u}{2u-3}$

Subtraia $u$ em ambos os lados da igualdade e some as frações

$u+x\cdot \dfrac{du}{dx}\bold{-u}=-\dfrac{4-3u}{2u-3}\bold{-u}\\\\\\ x\cdot \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{4-3u+u\cdot (2u-3)}{2u-3}\\\\\\ x\cdot \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{4-3u+2u^2-3u}{2u-3}\\\\\\x\cdot \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{2u^2-6u+4}{2u-3}$

Esta é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$\dfrac{du}{\left(-\dfrac{2u^2-6u+4}{2u-3}\right)}=\dfrac{dx}{x}\\\\\\ \dfrac{2u-3}{2u^2-6u+4}\,du=-\dfrac{dx}{x}$

Integramos ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int\dfrac{2u-3}{2u^2-6u+4}\,du=\int-\dfrac{dx}{x}}$

Aplique a linearidade, sabendo que $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int\dfrac{2u-3}{u^2-3u+2}\,du=-\int\dfrac{dx}{x}}$

Faça uma substituição na primeira integral: $u^2-3u+2=t$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$.

$\dfrac{d}{dx}(u^2-3u+2)=\dfrac{d}{dx}(t)$

Calcule as derivadas, de acordo com as regras apresentadas anteriormente

$(2u-3)\,du=dt$

Observe que este elemento já está presente na integral, logo teremos:

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int \dfrac{dt}{t}=-\int\dfrac{dx}{x}}$

Estas integrais são imediatas: $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C,~C\in\mathbb{R}$. Assim, teremos:

$\dfrac{1}{2}\cdot (\ln|t|+C_1)=-(\ln|x|+C_2)$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $2$ e faça $-2C_2=C_3$

$\ln|t|+C_1=-2\ln|x|+C_3$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade, faça $C_3-C_1=C_4 = \ln|C_5|$

$\ln|t|=-2\ln|x|+\ln|C_5|$

Aplique as propriedades de logaritmos: $\log(x^a)\Leftrightarrow a\cdot \log(x),~x>0$ e $\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b),~a,~b>0$

$\ln|t|=\ln|x^{-2}|+\ln(C_5)\\\\\\ \ln|t|=\ln\left(\dfrac{C_5}{x^2}\right)$

O logaritmo é uma função injetora, logo vale que:

$|t|=\dfrac{C_5}{x^2}\\\\\\ t=\pm~\dfrac{C_5}{x^2}$

Desfaça a substituição $t=u^2-3u+2$ e $u=\dfrac{y}{x}$

$u^2-3u+2=\pm~\dfrac{C_5}{x^2}\\\\\\ \dfrac{y^2}{x^2}-3\cdot\dfrac{y}{x}+2=\pm~\dfrac{C_5}{x^2}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $x^2$

$y^2-3yx+2x^2 =\pm~C_5$

Subtraia $\pm~C_5$ em ambos os lados da igualdade

$y^2-3yx+2x^2 \mp C_5=0$

Resolvendo esta equação quadrática em $y$, temos:

$y=\dfrac{3x\pm\sqrt{(-3x)^2-4\cdot1\cdot(2x^2\mp C_5)}}{2\cdot 1}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores. Faça $4C_5=C$

$y=\dfrac{3x\pm\sqrt{9x^2-8x^2\pm C}}{2}\\\\\\ y=\dfrac{3x\pm\sqrt{x^2\pm C}}{2}$

Visto que a constante $C$ é arbitrária, assumimos a solução:

$\boxed{y=\dfrac{3x\pm\sqrt{x^2+C}}{2},~C\in\mathbb{R}~~\checkmark}$