Question

resolver a equação diferencial homogênea a seguir utilizando a substituição

Answer 1

Resposta:

∫ 1/√(1/16+x²)   dx

Fazendo a substituição

x=(1/4)*tg(u)  ==> dx=(1/4)* sec²(u) du

∫ { 1/√[1/16+(1/16) *tg²(u)] }  *     (1/4)* sec²(u)  du

∫ { 1/(1/4)*√[1+tg²(u)] }  *     (1/4)* sec²(u)  du

∫ { 1/√[1+(tg²(u)] }  *     sec²(u)  du

∫ { 1/√[cos²(u)/cos²(u)+sen²(u)/cos²(u)] }  *     sec²(u)  du

∫ { 1/√[1/cos²(u)] }  *     sec²(u)  du

∫ { 1/√[sec²(u)] }  *     sec²(u)  du

∫  1/sec (u)  *     sec²(u)  du

multiplique por (sec(u)+tan(u))/(sec(u)+tan(u))

∫   sec (u)*(sec(u)+tan(u))/(sec(u)+tan(u))   du

∫ (sec²(u)+sec(u) *tan(u))/(sec(u)+tan(u))   du

Substitua

s=tan(u) +sec(u) ==>ds=sec²(u)+tan(s)*sec(u) du

∫ (sec²(u)+sec(u) *tan(u))/s)   ds /(sec²(u)+tan(s)*sec(u) )

∫ 1/s   ds  = ln |s| + c

Como s=tan(u) +sec(u)

= ln |tan(u) +sec(u)| + c

Como x=(1/4)*tg(u)  ==> u =arctan(4x)

= ln |tan(arctan(4x)) +sec(arctan(4x))| + c  é a resposta