Question

Resolver a Equação diferencial de Ricatti a seguir:

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}=y^2-\tan(x)\cdot y+\sec^2(x)$, dada a solução particular $y_1=\tan(x)$.

Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, também conhecida como Equação de Ricatti.

Fazendo $y=y_1+\dfrac{1}{v}$, em que $v=v(x)$, diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}\left(\tan(x)+\dfrac{1}{v}\right)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))+\dfrac{d}{dx}(g(x))$.
• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=y'(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante: $\dfrac{d}{dx}(\tan(x))=\sec^2(x)$.

Aplique a linearidade

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(\tan(x))+\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{v}\right)$

Calcule as derivadas e aplique a regra da potência.

$1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\sec^2(x)+(-1)\cdot v^{-1-1}\cdot \dfrac{dv}{dx}\\\\\\ \dfrac{dy}{dx}=\sec^2(x)-\dfrac{1}{v^2}\cdot\dfrac{dv}{dx}$

Substituindo estes resultados na equação, temos:

$\sec^2(x)-\dfrac{1}{v^2}\cdot\dfrac{dv}{dx}=\left(\tan(x)+\dfrac{1}{v}\right)^2-\tan(x)\cdot\left(\tan(x)+\dfrac{1}{v}\right)+\sec^2(x)$

Expanda o binômio e efetue a propriedade distributiva da multiplicação. Subtraia $\sec^2(x)$ em ambos os lados da igualdade.

$-\dfrac{1}{v^2}\cdot\dfrac{dv}{dx}=\tan^2(x)+\dfrac{2\tan(x)}{v}+\dfrac{1}{v^2}-\tan^2(x)-\dfrac{\tan(x)}{v}$

Some os termos semelhantes

$-\dfrac{1}{v^2}\cdot\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{\tan(x)}{v}+\dfrac{1}{v^2}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $-v^2$

$\dfrac{dv}{dx}=-\tan(x)\cdot v-1$

Some $\tan(x)\cdot v$ em ambos os lados da igualdade

$\dfrac{dv}{dx}+\tan(x)\cdot v=-1$

Esta é uma equação de Bernoulli, que assume a forma: $y'+P(x)\cdot y=Q(x)\cdot y^n$, com $n=0$. Suas soluções podem ser calculadas pelo método do fator integrante, dado por $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Calculando o fator integrante, temos:

$\mu(x)=e^{\int \tan(x)\,dx}$

Devemos calcular a integral no expoente: $\displaystyle{\int \tan(x)\,dx}$

Reescreva $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ e faça uma substituição $u=\cos(x)$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(\cos(x))$

Calcule a derivada implícita e lembre-se que a derivada da função cosseno é o oposto da função seno.

$\dfrac{du}{dx}=-\sin(x)$

Então, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{\left(-\dfrac{du}{dx}\right)}{u}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int -\dfrac{du}{u}}$

Calcule a integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C,~C\in\mathbb{R}$ e desfaça a substituição $u=\cos(x)$

$-\ln|\cos(x)|$

Substituindo este resultado no expoente, calculamos o fator integrante

$\mu(x)=e^{-\ln|\cos(x)|}$

Aplique a propriedade de potências: $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$  e $a^{\log_a(x)}=x, 0\neq a>1$

$\mu(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}=\sec(x)$

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante

$\sec(x)\cdot\left(\dfrac{dv}{dx}+\tan(x)\cdot v\right)=\sec(x)\cdot (-1)\\\\\\ \sec(x)\cdot\dfrac{dv}{dx}+\tan(x)\sec(x)\cdot v=-\sec(x)$

Podemos reescrever o lado esquerdo da igualdade utilizando a regra do produto: $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

$(\sec(x)\cdot v)'=-\sec(x)$

Integre ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int (\sec(x)\cdot v)'\,dx=\int-\sec(x)\,dx}$

Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int \dfrac{dF(x)}{dx}\,dx=F(x)+C}$ e resolva a integral à direita da igualdade: $\displaystyle{\int \sec(x)\,dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+C}$

$\sec(x)\cdot v=-\ln|\sec(x)+\tan(x)|+C$

Reescreva $C=\ln|C|$ e aplique a propriedade $\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\cdot b)$

$\sec(x)\cdot v=-\ln|C\cdot(\sec(x)+\tan(x))|$

Divida ambos os lados da igualdade por $\sec(x)$

$v=-\dfrac{\ln|C\cdot(\sec(x)+\tan(x))|}{\sec(x)}$

Por fim, substitua este resultado na solução da equação diferencial:

$y=\tan(x)+\dfrac{1}{-\dfrac{\ln|C\cdot(\sec(x)+\tan(x))|}{\sec(x)}}\\\\\\ y=\tan(x)-\dfrac{\sec(x)}{\ln|C\cdot(\sec(x)+\tan(x))|},~C\in\mathbb{R}$

Esta é a solução desta equação diferencial.