Question

Resolver a equação diferencial de Bernoulli a seguir:

Answer 1

Conteúdo:

Equação Diferencial de Bernoulli

Resolução:

• Podemos inicialmente substituir:

$\large { \sf x^2 y' + 2xy - y^3 = 0 \longrightarrow \quad x^2y +2xy = y^3 }$

• O segundo passo é tirar o x² dali, então podemos dividir toda a equação por x²:

$\large {\text { \sf \cfrac{\not {x^2}y'}{\not {x^2}} + \cfrac{2\not {x} y}{\not {x^2}} = y^3 \cdot \cfrac{1}{x^2} \quad \Leftrightarrow \quad y' + \cfrac{2}{x}\cdot y = \cfrac{y^3}{x^2} }}$

• Tendo em mente, para transformar em uma equação linear e substituir, dividiremos por y³:

$\large {\text { \sf \cfrac{y'}{y^3} + \cfrac{2}{x} \cdot \cfrac{\not {y} }{y\not {^3}} = \cfrac{\not {y^3}}{x^2}\cdot \cfrac{1}{\not {y^3}} \longrightarrow \quad y^{-3}\cdot y' + \cfrac{2}{x} \cdot y^{-2} = \cfrac{1}{x} }}$

• Nós precisamos observar que pra essa equação se tornar linear, precisaríamos de uma incógnita base que seria y, seria então y⁻², chamando a segunda variável:

$\large {\boxed { \sf w = y^{-2} , \quad w' = -2y^{-3} , \quad \cfrac{w'}{-2} = y^{-3} \cdot y' }$

• Enxergando uma possível substituição, que seria:

$\large {\sf \cfrac{w'}{-2} + \cfrac{2}{x}w = \cfrac{1}{x^2} }$

• Por enquanto ainda não é linear, mas podemos simplificar ainda mais, por -2:

$\large {\sf w' - \cfrac{4}{x}w =\cfrac{-2}{x^2} }$

• Agora sim a equação é linear, bom fica um pouco mais de resolver, agora teremos que encontrar o fator integrante (u) :

                   $\huge {\boxed {\sf u = e^{ - \int\limits \frac{4}{x} dx } = e^{-4 \cdot ln (x) } = x^{-4} }}$

• Dado que:

$\large {\boxed {\sf \cfrac{d}{dx}(u \cdot v) = u\cdot k }}$                  $\large {\boxed {\sf u = e^{\int\limits g(x) \cdot dx } }}$                 $\large {\boxed {\sf y' +g(x) y = h(x) }}$

• Então k é:

$\large {\sf k = \cfrac{-2}{x^2} }$

• Ficando dessa maneira assim:

$\large {\sf \cfrac{d}{dx} (x^{-4} \cdot w) = x^{-4} }$

• Aplica as integrais e simplifica:

$\large {\text { \sf \displaystyle \int\limits \cfrac{d}{dx} (x^{-4} \cdot w) \: dx = \dispaystyle \int\limits -2 \cdot x^{-6} \: dx \rightarrow \quad x^{-4} \cdot w = \cfrac{-2\cdot x^{-5}}{-5} + C }}$

• Então a gente pode isolar w:

$\large {\text { \sf w = \cfrac{-2 \cdot x^{-5} } {-5 \cdot x^{-4} }+ \cfrac{C}{x^{-4}} }}$

• Lá no começo definimos w, neste momento podemos trazer y⁻² agora:

$\large {\text { \sf y^{-2} = \cfrac{2}{5x^{-4} \cdot x^5} + x^4 \cdot C }}$

• Agora para ter a solução final, contemos:

$\large {\sf y^{-2} = \cfrac{2}{5x} + x^4 \cdot C }$

• Para deixar ainda mais simplificado:

                           $\large {\boxed {\boxed {\boxed {\bf y = \left[ \cfrac{2}{5x} + x^4+C \right ]^{\cfrac{-1}{2} } }}}}$

Tarefas semelhantes:

https://brainly.com.br/tarefa/44865320

https://brainly.com.br/tarefa/44833161

https://brainly.com.br/tarefa/6290025