Question

Resolver a equação binomial onde C n,4 = 70

Answer 1

$C_{n,\,4}=70\\ \\ \dfrac{n!}{4! \cdot \left(n-4 \right )!}=70\\ \\ \dfrac{n \cdot \left(n-1 \right ) \cdot \left(n-2 \right )\cdot \left(n-3 \right )\cdot \left(n- 4\right)!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \left(n-4 \right )!}=70\\ \\ \dfrac{n \cdot \left(n-1 \right ) \cdot \left(n-2 \right )\cdot \left(n-3 \right )}{24}=70\\ \\ n \cdot \left(n-1 \right ) \cdot \left(n-2 \right )\cdot \left(n-3 \right )=24 \cdot 70\\ \\ n \cdot \left(n-1 \right ) \cdot \left(n-2 \right )\cdot \left(n-3 \right )=\left(2^{3}\cdot 3 \right )\cdot \left(2\cdot 5\cdot 7 \right )\\ \\ n \cdot \left(n-1 \right ) \cdot \left(n-2 \right )\cdot \left(n-3 \right )=2^{4} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$


Estamos procurando quatro números naturais consecutivos

$n,\;\;n-1,\;\;n-2,\;\;n-3$

que sejam divisores de $2^{4} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7=1\,680$.


Observando os expoentes dos fatores primos de $1\,680$, vemos que este número possui

$\left(4+1 \right )\cdot \left(1+1 \right )\cdot \left(1+1 \right )\cdot \left(1+1 \right )\\ \\=5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\\ \\=40\text{ divisores}$


$\text{D}\left(1\,680\right)=\left\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,10,\,12,\,14,\,15,\,\ldots \right \}$


Inspecionando o conjunto dos divisores de $1\,680$, percebemos a sequência dos números consecutivos $5$, $6$, $7$ e $8$, e verificamos que

$8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5=1\,680$


Como $n$ deve ser o maior número da sequência, então

$\boxed{n=8}$