Question

Resolver a equação: (1+X²).dy-x.y.dx=0

Answer 1

Resposta:

Sendo (1 + x²)dy - xydx = 0 uma equação diferencial separável, então temos que:

(1 + x²)dy = xydx

\frac{dy}{y}=\frac{xdx}{1+x^2}

y

dy

=

1+x

2

xdx

Para resolver essa equação, temos que integrar ambos os lados:

\int\frac{dy}{y}=\int\frac{xdx}{1+x^2}∫

y

dy

=∫

1+x

2

xdx

Para integrar x precisamos utilizar o método da substituição.

Sendo u = 1 + x², então \frac{du}{2}=xdx

2

du

=xdx .

Assim,

ln(y)=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}ln(y)=

2

1

∫

u

du

ln(y)=\frac{1}{2}ln(1+x^2)+cln(y)=

2

1

ln(1+x

2

)+c

Lembrando que: e^{ln(x)}=xe

ln(x)

=x , então:

e^{ln(y)}=e^{ln(1+x^2)^{\frac{1}{2}} + c}e

ln(y)

=e

ln(1+x

2

)

2

1

+c

y = (1+x^2)^{\frac{1}{2}}.c_1y=(1+x

2

)

2

1

.c

1

Portanto, a alternativa correta é a letra e).