Matemática, perguntado por thalissiacastro56, 4 meses atrás

Resolver a congruência linear 5x=6(mod12)

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que a solução desta equação de congruência linear é $\sf x = 12 r + 6 ~com ~r\in \mathbb{ Z}$

Uma equação de congruência é uma congruência entre expressões literais, os valores que a satisfazem são suas soluções.

Queremos encontrar a solução da seguinte equação de congruência: $5 x \equiv 6 (\rm{mod} ~ 12)\quad (i)$

Em outras palavras, queremos encontrar um valor de "x" que, quando multiplicado por 5 e dividido por 12, nos dê um resto de 7. Encontrar um valor de "x" apenas para esta equação será um pouco complexo, pois não qualquer número atenderá a essa condição.

E como é uma equação de congruência, não é possível despejar a variável "x" ou dividir o número 5 por 6, pois na aritmética modular não é permitido fazer isso.

Então, para encontrar a solução de uma congruência linear, você deve primeiro saber como encontrar o inverso de a (mod m) Esse inverso, y, é um número tal que $y\equiv1 (\rm{mod }~ m)$ .

Mas para encontrar a inversa devemos provar que esta equação de congruência tem apenas uma solução única e para provar isso devemos provar que o máximo divisor comum (mcd) de a e b deve ser igual a 1, onde a é o número que multiplica o variável x e b o número encontrado dentro do módulo.

mdc(5,12) = 1

Então podemos encontrar o inverso desta equação, mas aqui uma pergunta pode vir a nós e é qual número multiplicado por 5 e dividido por 12 deixará 1 como resto, ou seja:

$5 y\equiv 1(\rm{mod}~ 12)$

Esta equação de congruência pode ser escrita como:

$5 y = 1 - 12 k\\\\ 5 y + 12 k = 1$

Essa equação é conhecida como equação diofantina linear, para isso podemos aplicar o algoritmo de Euclides para encontrar a menor solução possível, mas vamos atribuir valores à variável "k" até obtermos um valor que seja divisível por 5.

$k=1:~ 1 - 12 \cdot 1= - 11\\\\ k = 2:~ 1 - 12 \cdot 2= - 23\\\\ k= 3:~ 1 - 12 \cdot 3 = - 35~\checkmark$

Podemos ver que - 35 pode ser divisível pelo número 5, então as menores soluções inteiras para nossa equação diofantina são $(y,k)= (-7,3)$ , então o inverso é igual a:

$5\cdot (-7) \equiv 1(\rm{mod}~ 12)$ (ii)

Assim, multiplicando os dois lados da congruência (i) por -7, temos:

$\Longrightarrow ~ (5\cdot-7) x \equiv (6\cdot-7)~(\rm{mod}~12)\\\\ \overset{\mathrm{(ii)}}{\Longleftrightarrow} ~(1)x \equiv - 42~(\rm{mod}~12)\\\\ \Longleftrightarrow ~x \equiv-42~(\rm{mod}~12)\\\\ \Longleftrightarrow ~x\equiv 6(\rm{mod}~12)$

Esta seria a solução de acordo com a variável "x" de forma modular mas para todos os valores de "x" pode ser escrito pela expressão:

$\boxed{\sf x = 12 r + 6\quad com ~r\in \mathbb{Z}}$

Conclusão: Os valores da variável "x" que atendem a essa equação de congruência são dados pela expressão $x = 12 r + 6$ , onde r é qualquer número inteiro.