Question

Resolver a congruência linear 5x ≡ 6(mod 12)

Answer 1

Resposta:   $x\equiv 6~~\mathrm{(mod~}12),$

ou ainda, podemos escrever

     $\Longleftrightarrow\quad x=12n+6\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=6\cdot (2n+1)$

com n ∈ ℤ.

Explicação passo a passo:

Resolver a equação congruência linear

     $5x\equiv 6~~\mathrm{(mod~}12)\qquad\mathrm{(i)}$

Como mdc(5, 12) = 1, então existe algum inteiro y, tal que

     $5y\equiv 1~~\mathrm{(mod~}12)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5y-1=12k\\\\ \Longleftrightarrow\quad 12k+1=5y\qquad\mathrm{(ii)}$

para algum k inteiro.

(tal valor de y é por definição um representante da classe inversa do 5, módulo 12)

Como 5 é um número relativamente pequeno, podemos encontrar um valor para y simplesmente respondendo a seguinte pergunta:

Por qual número devemos multiplicar o 12, para que o resultado seja ANTECESSOR de um múltiplo de 5?

Dentre os primeiros múltiplos de 12, encontramos

     $12\cdot 2=24\\\\ \Longleftrightarrow\quad 12\cdot 2+1=24+1=25\\\\ \Longleftrightarrow\quad 12\cdot 2+1=5\cdot 5\qquad\mathrm{(iii)}$

Portanto, $y=5$ é uma solução para a equação (ii), ou seja,

     $5\cdot 5\equiv 1~~\mathrm{(mod~}12)\qquad\mathrm{(iv)}$

Dessa forma, para isolar o x, podemos multiplicar os dois membros da congruência (i) por y = 5:

     $\Longleftrightarrow\quad 5\cdot (5x)\equiv 5\cdot 6~~\mathrm{(mod~}12)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (5\cdot 5)x\equiv 30~~\mathrm{(mod~}12)\\\\ \overset{\mathrm{(iv)}}{\Longleftrightarrow}\quad 1x\equiv 30~~\mathrm{(mod~}12)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 30-24\equiv 30-12\cdot 2~~\mathrm{(mod~}12)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 6~~\mathrm{(mod~}12)\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta}$

ou ainda, podemos escrever

     $\Longleftrightarrow\quad x=12n+6\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=6\cdot (2n+1)$

com n ∈ ℤ.

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