Question

Resolvendo o limite x=>0 e y=>0

$\frac{ x^{2}+ y^{2} }{ \sqrt{ x^{2} + y^{2}+1 }-1 }$

obtém - se :
a) 2
b) 0
c) 1
d) -1
e) -2

Answer 1

Boa tarde Roger!

Solução!
Primeiro analisar fazendo a substituição para ver se o limite apresenta indeterminação,caso tenha, multiplicar o conjugado do denominador com o sinal trocado.


$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ x^{2} +y^{2} }{ \sqrt{ x^{2} +y^{2}+1 }-1 } \\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ x^{2} +y^{2} }{ \sqrt{ (x^{2} +y^{2}+1) }-1 } \times \frac{\sqrt{ (x^{2} +y^{2}+1 })+1 }{ \sqrt{ (x^{2} +y^{2}+1) }+1 }$


$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ (x^{2} +y^{2})\times \sqrt{ (x^{2} + y^{2}+1) }+1}{ \sqrt{ x^{2} +y^{2} +1}-1 }\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ (x^{2} +y^{2})\times \sqrt{ (x^{2} + y^{2}+1) }+1}{ (\sqrt{ x^{2} +y^{2} +1})^{2} -(1)^{2} }$




$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ (x^{2} +y^{2})\times \sqrt{ (x^{2} + y^{2}+1) }+1}{x^{2} +y^{2} +1 -1 }\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{ (x^{2} +y^{2})\times \sqrt{ (x^{2} + y^{2}+1) }+1}{x^{2} +y^{2} }\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{ (x^{2} + y^{2}+1) }+1 }\\\\\\\\ Substituindo!\\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{ (0^{2} + 0^{2}+1) }+1 }$



$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{ (1) }+1 }\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} 1+1=2\\\\\\ \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} 2$




$\boxed{Resposta: Alternativa:~~A}$


Boa tarde!
Bons estudos!