Question

resolvendo em R a equação : 5^logx - 3^logx/3 = 3 . 3^logx - 5^logx/5

Answer 1

Para facilitar na visualização e agilizar nos cálculos:

$5^{\log x}=a\\ \\3^{\log x}=b$

$a-\frac{b}{3}=3b-\frac{a}{5}\\ \\\frac{3a-b}{3}=\frac{15b-a}{5}\\ \\5\cdot(3a-b)=3\cdot(15b-a)\\ \\15a-5b=45b-3a\\ \\15a+3a=45b+5b\\ \\18a=50b\\ \\a=\frac{50}{18}\cdot b\\ \\a=\frac{25}{9}\cdot b\\ \\a=\frac{5^2}{3^2}\cdot b\\ \\\frac{a}{5^2}=\frac{b}{3^2}$

Substituindo os valores de a e b :

$\frac{5^{\log x}}{5^2}=\frac{3^{\log x}}{3^2}\\ \\5^{(\log x-2)}=3^{(\log x-2)}$

Como os expoentes são iguais e as bases são diferentes, o único valor possível para o expoente é 0, pois todo número elevado a 0 é 1. Portanto:

$\log x-2=0\\ \\\log x=2\\ \\x=10^2\\ \\x=100$

Resposta: e) 90 e 110

Answer 2

Resolvendo em IR a equação $5^{log(x)}-\frac{3^{log(x)}}{3}=3.3^{log(x)}-\frac{5^{log(x)}}{5}$ obtém-se como solução um número entre 90 e 110.

Primeiramente, devemos lembrar que na divisão de potências de mesma base, devemos repetir a base e subtrair os expoentes.

Já na multiplicação de potências de mesma base, devemos repetir a base e somar os expoentes.

Sendo assim, podemos reescrever a equação dada na seguinte forma:

$5^{log(x)}-3^{log(x)-1}=3^{1+log(x)}-5^{log(x)-1}$

$5^{log(x)}+5^{log(x)-1}=3^{1+log(x)}+3^{log(x)-1}$.

Observe que no lado esquerdo podemos colocar $5^{log(x)}$ em evidência. Já no lado direito podemos colocar $3^{log(x)}$ em evidência. Logo:

$5^{log(x)}(1+5^{-1})=3^{log(x)}(3+3^{-1})$

$\frac{5^{log(x)}}{3^{log(x)}}=\frac{3+3^{-1}}{1+5^{-1}}$

$(\frac{5}{3})^{log(x)}=\frac{25}{9}$

$(\frac{5}{3})^{log(x)}=(\frac{5}{3})^2$.

Como as bases são iguais, então podemos igualar os expoentes: log(x) = 2.

A definição de logaritmo nos diz que:

• logₐ(x) = b ⇔ aˣ = b.

Portanto, podemos concluir que:

x = 10²

x = 100.

Alternativa correta: letra e).

Exercício sobre logaritmo: https://brainly.com.br/tarefa/18944643