Question

Resolvendo a integral∫(x²+6x-2)dx obtemos:

Answer 1

A integral da soma ∫(x²+6x-2)dx é igual a soma das integrais ∫x²dx + ∫6xdx -  ∫2dx; ou simplesmente:
∫(x²+6x-2)dx = [x³/3 + 6x²/2 - 2x + k]=
                     =x³/3 + 3x² - 2x + k

OBS: A constante k aparece por ser uma integral indefinida.

Answer 2

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Calcular a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int\!(x^2+6x-2)\,dx\qquad\quad(i)}$

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Propriedade para integrar potências:

$\mathsf{\displaystyle\int\!x^n\,dx}=\left\{\!\begin{array}{ll} \mathsf{\dfrac{x^{n+1}}{n+1},}&\mathsf{se~~n\ne -1}\\\\ \mathsf{\ell n|x|,}&\mathsf{se~~n=-1} \end{array}\right.$

(aqui foi omitida a constante de integração)

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Voltando, a integral (i) fica

$\mathsf{\displaystyle\int\!(x^2+6x-2)\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int\!x^2\,dx+\int\!6x\,dx-\int\!2\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+6\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}-2x+C}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{x^3}{3}+6\cdot \dfrac{x^2}{2}-2x+C}$

$\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}=\mathsf{\displaystyle\int\!(x^2+6x-2)\,dx=\frac{1}{3}\,x^3+3x^2-2x+C} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)


Tags:  integral indefinida função polinomial potência cálculo integral