Question

Resolvendo a inequação log base 1/2 logaritmo (x-1) - log base 1/2 logaritmo (x+1)< log base 1/2 logaritmo (x-2) +1 qual é a solução?

Answer 1

*Para facilitar a escrita utilizarei à notação log a na base b como logb (a).

Temos a inequação,

log1/2 (x-1) - log1/2 (x+1) < log1/2 (x-2) + 1

Lembrando:  

Logb (a) = c ⇔ $b^{c}$ = a, com a e b maiores que zero e b ≠ 1

1° Explicitaremos a condição de existência de cada logaritmo

a) log1/2 (x-1) ⇒ x-1 > 0

b) log1/2 (x+1) ⇒ x+1 > 0

c) log1/2 (x-2) ⇒ x+2 > 0

Resolvendo as inequações, temos

a) x-1 > 0 y x > 1

b) x+1 > 0 y x > -1

c) x-2 > 0 y x > 2

Então, fazendo a intersecção de “a”,”b” e “c” temos que  

x > 2

2° Após determinamos a condição de existência resolveremos a inequação problema

i) Utilizamos a propriedade: logaritmo de um quociente

logb (M/N) = logb (M) – logb (N)

temos,

log1/2 (x-1) - log1/2 (x+1) < log1/2 (x-2) + 1 ⇒ log1/2 [(x-1)/(x+1)] < log1/2 (x-2) + 1

ii) Utilizando a 2ª consequência da definição de logaritmo

logb (b) = 1

temos,

log1/2 [(x-1)/(x+1)] < log1/2 (x-2) + 1 ⇒ log1/2 [(x-1)/(x+1)] < log1/2 (x-2) + log1/2 (1/2)

iii) Utilizando a propriedade: Logaritmo de um produto

logb (M∙N) = logb (M) + logb (N)

temos,

log1/2 [(x-1)/(x+1)] < log1/2 (x-2) + log1/2 (1/2) ⇒ log1/2 [(x-1)/(x+1)] < log1/2 [(x-2)∙1/2]

iv) Utilizando a 5ª consequência da definição

logb (a) = logb (c) ⇔ a = c

Entretanto como estamos trabalhando com inequações devemos nos atentar se a função logarítmica é crescente ou decrescente.

Lembrando:

A função f(x) = logb (x) é crescente quando b > 1. Nesse caso, o sentido da desigualdade é conservado. Por exemplo:

Com x > 0, log2 (x) > log2 (4) ⇒ x > 4

A função f(x) = logb (x) é decrescente quando 0 < b < 1. Nesse caso, o sentido da desigualdade é trocado. Por exemplo:

Com x > 0, log1/2 (x) > log1/2 (4) ⇒ x < 4

Então,

log1/2 [(x-1)/(x+1)] < log1/2 [(x-2)∙1/2] ⇒ [(x-1)/(x+1)] > [(x-2)∙1/2]

v) Resolveremos a inequação quociente

(x-1)/(x+1) > (x-2)∙1/2

  1° Analisaremos a inequação em relação a zero

(x-1)/(x+1) > (x-2)∙1/2  ⇒  (x-1)/(x+1) - (x-2)∙1/2 > (x-2)∙1/2 - (x-2)∙1/2 ⇒ (x-1)/(x+1) - (x-2)∙1/2 > 0  ⇒ 2∙x-2∙(x+1)∙(x-2)/(2∙(x+1) > 0 ⇒ (2∙x-2-$x^{2}$+2∙x-x+2)/(2∙x+1) > 0 ⇒ (-$x^{2}$+3∙x)/(2∙x+1) > 0

  2° Analisaremos as funções g(x) = -$x^{2}$+3∙x e h(x) = 2∙x+1

 g(x) = -$x^{2}$+3∙x

-$x^{2}$+3∙x = 0 ⇒ x∙(-x+3)=0 ⇒ x = 0 ou –x + 3 = 0 ⇒ x = 3

 h(x) = 2∙x+1

2∙x+1 = 0 ⇒ 2∙x= -1 ⇒ x= -1/2

Fazendo o quadro-quociente, temos

(imagem em anexo)

Portanto,

Os intervalos de solução são:

x < - $\frac{1}{2}$ ou 0 < x < 3, entretanto a condição de existência é x > 2, fazendo a intersecção da solução com a condição de existência, temos

2 < x < 3

Então,

S = { x ∈ R | 2 < x < 3 }

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

s={x€R|2<x<3} Não tenho certeza, tenho duvidas