Resolvendo a expressão N = 2^12 ∙ 5^10, a quantidade de algarismos do número encontrado é igual a
a) 4
b) 5
c) 10
d) 11
Soluções para a tarefa
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Vamos lá.
Veja, Gaby, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o número de algarismos do número "N", que é este:
N = 2¹² * 5¹⁰
Vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, ficando:
log₁₀ (N) = log₁₀ (2¹² * 5¹⁰) ---- transformando, no 2º membro, o produto em soma (é uma propriedade logarítmica), teremos:
log₁₀ (N) = log₁₀ (2¹²) + log₁₀ (5¹⁰) --- agora vamos passar os expoentes multiplicando os respectivos logs (é outra propriedade logarítmica):
log₁₀ (N) = 12log₁₀ (2) + 10log₁₀ (5)
Agora note que:
log₁₀ (2) = 0,30103 (aproximadamente)
e
log₁₀ (5) = 0,69897 (aproximadamente).
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
log₁₀ (N) = 12*0,30103 + 10*0,69897 --- efetuando os produtos indicados, teremos:
log₁₀ (N) = 3,61236 + 6,9897
log₁₀ (N) = 10,60206 <-- Este é o valor do logaritmo do número N, na base 10.
Agora veja isto e não esqueça mais: a característica (que é número que vem antes da vírgula) de qualquer logaritmo indica que o número que é o "dono" daquele logaritmo sempre terá MAIS uma unidade de algarismos que a sua característica.
Ora, se a característica é igual a "10", então o número "N" terá "10+1 = 11" algarismos. Assim, teremos que o número N terá:
11 algarismos <--- Esta é a resposta. Opção "d".
Bem, a resposta já está dada. Agora, apenas por mera curiosidade, veja como isso é verdade mesmo.
Note que o log₁₀ (1.000) = 3,0000000 (ou apenas 3). Isto significa que a característica do logaritmo de 1.000 é 3. E veja que 1.000 tem 4 algarismos, que será indicado pela característica MAIS uma unidade: 3+1 = 4. E assim sucessivamente para todo e qualquer número positivo (note que só há logaritmos de números positivos), ou seja: o número de algarismos de qualquer número positivo SEMPRE terá o seu número de algarismos indicado pela característica do seu logaritmo MAIS uma unidade.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
Veja, Gaby, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o número de algarismos do número "N", que é este:
N = 2¹² * 5¹⁰
Vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, ficando:
log₁₀ (N) = log₁₀ (2¹² * 5¹⁰) ---- transformando, no 2º membro, o produto em soma (é uma propriedade logarítmica), teremos:
log₁₀ (N) = log₁₀ (2¹²) + log₁₀ (5¹⁰) --- agora vamos passar os expoentes multiplicando os respectivos logs (é outra propriedade logarítmica):
log₁₀ (N) = 12log₁₀ (2) + 10log₁₀ (5)
Agora note que:
log₁₀ (2) = 0,30103 (aproximadamente)
e
log₁₀ (5) = 0,69897 (aproximadamente).
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
log₁₀ (N) = 12*0,30103 + 10*0,69897 --- efetuando os produtos indicados, teremos:
log₁₀ (N) = 3,61236 + 6,9897
log₁₀ (N) = 10,60206 <-- Este é o valor do logaritmo do número N, na base 10.
Agora veja isto e não esqueça mais: a característica (que é número que vem antes da vírgula) de qualquer logaritmo indica que o número que é o "dono" daquele logaritmo sempre terá MAIS uma unidade de algarismos que a sua característica.
Ora, se a característica é igual a "10", então o número "N" terá "10+1 = 11" algarismos. Assim, teremos que o número N terá:
11 algarismos <--- Esta é a resposta. Opção "d".
Bem, a resposta já está dada. Agora, apenas por mera curiosidade, veja como isso é verdade mesmo.
Note que o log₁₀ (1.000) = 3,0000000 (ou apenas 3). Isto significa que a característica do logaritmo de 1.000 é 3. E veja que 1.000 tem 4 algarismos, que será indicado pela característica MAIS uma unidade: 3+1 = 4. E assim sucessivamente para todo e qualquer número positivo (note que só há logaritmos de números positivos), ou seja: o número de algarismos de qualquer número positivo SEMPRE terá o seu número de algarismos indicado pela característica do seu logaritmo MAIS uma unidade.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
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