Question

Resolvendo a equação
(x⁴- 4x²)² + 8(x⁴- 4x²) + 16 = 0,
encontramos como conjunto solução:

a. {2}
b. {-4}
c. {-2;2}
d. {-√2;√2}

Answer 1

Há dois modos de se fazer essa equação:
Modo 1: Substituição de variável:
(x⁴- 4x²)² + 8(x⁴- 4x²) + 16 = 0

Vamos fazer uma mudança de variável:
y = x⁴ - 4x²             

Substituindo:
y² + 8y + 16 = 0    

Vou usar soma e produto:  (pode fazer por bhaskara se preferir)         
y1 + y2 = -b/a = -8/1 = -8
y1 . y2 = c/a = 16/1 = 16

Acha dois números cuja some é -8 e o produto 16. Os números são -4 e -4, logo y1 = y2 = -4

Agora vamos achar o valor de x:
y = x⁴ - 4x²              sustituindo y:
-4 = x⁴ - 4x² 
x⁴ - 4x² + 4 = 0            <<< agora vamos fazer outra substituição de variável:

z = x²

z² - 4z + 4 = 0          
Vou fazer por soma e produto de novo:
z1 + z2 = -b/a = -(-4)/1 = 4
z1 . z2 = c/a = 4

Ache dois números cuja soma é 4 e o produto é 4.
Os números são 2 e 2, logo z1 = z2 = 2

Agora vamos achar o valor de x:
z = x²
2 = x²          
x = +/- √2 

x1 = - √2 , x2 = √2
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Modo 2: Produtos notáveis:

Nesse vc tem que ficar atento e entender um pouco deles:
se eu trocar x⁴ - 4x² por a, perceba uma coisa:
a² + 8x + 16 = 0      <<< perceba que podemos reverter isso como:
(a + 4)² = 0             <<< eleve ambos os lados ao quadrado:
a + 4 = 0
a = -4                      <<< substitua a novamente por x⁴ - 4x².
x⁴ - 4x² = -4 
x⁴ - 4x² + 4 = 0   <<<  a partir daqui fica igual ao método anterior.

Resposta: {-√2;√2}
Bons estudos