Question

Resolvendo a equação sen2 x - sen x = 0 no intervalo de 0 < x < 2π, encontramos o conjunto solução?

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\sf sen^2(x) -sen(x) = 0$

Para resolver essa equação, vamos utilizar um artifício de fazer uma substituição. Digamos que $\sf d= sen(x)$, substituir essa informação, temos que:

$\sf[sen(x)]^2-sen(x) = 0 \\\sf [d]^2 - d = 0$

Fazendo essa substituição, chegamos a uma equação do segundo grau, que possui um grau de complexidade de resolução menor. Resolvendo essa equação, vamos ter que:

$\sf d^2 - d =0 \to d_1 = 0 \: e \: d _2=1$

Mas lembrando da substituição que fizemos anteriormente, então teremos que:

$\sf d_1=sen(x)\:\: e \:\:d_2 = sen(x)$

Fazendo essa substituição, temos que:

$\sf sen(x) = 0 \: \: e \:\: sen(x) = 1$

Agora devemos encontrar o ângulo referente ao sen(x) = 0 e sen(x) = 1 dentro do intervalo fornecido, que é 0<x<2\pi. Certamente sabemos que o ângulo que faz o seno ser igual a 0 é 180°, o ângulo de 0° e 360° não são incluídos uma vez que o intervalo informado não faz a inclusão dos mesmos, devido as sinais < e >, portanto, podemos dizer que uma das respostas é \pi. Já em relação a sen(x) = 1, também é possível observar que dentro do intervalo informado, a única possibilidade de resposta é o ângulo de 90° $\sf(\pi/2)$, uma vez que sen(90°) = 1. Logo, podemos concluir que a resposta é:

$\sf S = \left\{\pi,\frac{\pi}{2}\right\}$

Espero ter ajudado