Question

Resolvendo a equação logarítmica (log2 x )² – 9. log8 x = 4, obtemos as raízes a e b: O v alor de P raiz de = a. b, é
(nota: log2 x = indicando base 2 e log8 x indicando base 8)
a) ½ b) √2 c) 1 /√2 d) 1 e) 8

Answer 1

(log2 x)²  - 9.log8 x = 4

Podemos realizar uma mudança de base em log8 x, alterando a base para 2.
Assim fica:
log8 x = log2 x/ log2 8

log2 8 = a
2^a = 8
2^a = 2³      Cortamos as base iguais.
a = 3

log8 x = log2 x/log2 8 = log2 x/3 


Então temos:
(log2 x)² - 9.log2 x/3 = 4
(log2 x)² - 3.log2 x = 4

Faremos log2 x = y. Desse modo, fica:
y² - 3y = 4
y² - 3y - 4 = 0

Δ = 9 + 16
Δ = 25

y' = 3 - 5/2 = -2/2 = - 1
y" = 3 + 5/2 = 8/2 = 4

Sendo y = -1:
log2 x = -1
2^-1 = x  → x = 1/2

Sendo y = 4:
log2 x = 4
2^4 = x   → x = 16

P = 16.1/2
P = 16/2
P = 8