Question

Resolvendo a equação diferencial y`y² = x²

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$y^2 \cdot y'=x^2$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $3$

$3y^2\cdot y'=3x^2$

Reescrevemos o lado esquerdo da igualdade utilizando as regras de derivação implícita e regra da potência: $3y^2\cdot y'=\dfrac{d}{dx}(y^3)$

integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}(y^3)\,dx=\int 3x^2\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}(f(x))\,dx=f(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int \dfrac{d}{dx}(y^3)\,dx=3\cdot\int x^2\,dx}$

Aplique o TFC e a regra da potência:

$y^3+C_1=3\cdot\left(\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C_2\right)$

Some os valores no expoente e no denominador e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y^3+C_1=3\cdot\left(\dfrac{x^3}{3}+C_2\right)\\\\\\ y^3+C_1=x^3+3C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e faça $3C_2-C_1=C$

$\Large{\boxed{y^3=x^3+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Esta é a família de soluções desta equação diferencial.