Question

Resolvendo a equação diferencial abaixo para f(2)=3, obtemos que solução?
(1+x)dx-y dy=0
Necessito do desenvolvimento da do calculo!

Answer 1

$(1+x)dx -ydy = 0\\\\ (1+x)dx = 0+ydy\\\\\boxed{(1+x)dx = y.dy}$

integrando os dois lados da equação
$\int(1+x)dx = \int y.dy$

resolvendo a primeira integral
$\int(1+x)dx = x+ \frac{x^{1+1}}{1+1}} +C = x+ \frac{x^2}{2} = \frac{2x+x^2}{2}+C$

resolvendo a outra integral
$\int ydy = \frac{y^{1+1}}{1+1}= \frac{y^2}{2}$

temos
$\frac{2x+x^2}{2} +C= \frac{y^2}{2} \\\\\\2x+x^2=y^2\\\\ \boxed{\boxed{\sqrt{2x+x^2+C} =y=f(x)}}$

o enunciado diz que f(2) = 3

$f(x)= \sqrt{2x+x^2+C} \\\\f(2)= \sqrt{2*2+2^2+C}= 3\\\\ \sqrt{8+C}=3\\\\C=3^2-8\\\\C=1$

logo
$f(x)= \sqrt{2x+x^2+1}\\\\\boxed{\boxed{f(x)= \sqrt{(x+1)^2} }}$