Question

Resolve essa integral tripla.

$\int\limits^2_0~\int\limits^2_0~\int\limits^2_0~(x^{2} +y^{2} +z^{2})dz~dy~dx$

Answer 1

• O resultado dessa integral tripla é:

         $\large\displaystyle\begin{gathered} \int _0^2\int_0^2\int_0^2(x^2+y^2+z^2)dzdydx=32\end{gathered}$

Desejamos calcular a seguinte integral tripla:

         $\large\displaystyle\begin{gathered} \int _0^2\int_0^2\int_0^2(x^2+y^2+z^2)dzdydx\end{gathered}$

Pelo Teorema de Fubini. Que diz que podemos inverter a ordem de integração. Ou seja, não importa se começarmos do x ou do y ou do z, sempre dará o mesmo resultado. Logo:

    $\large\displaystyle\begin{gathered} \int _0^2\left\{\int_0^2\left[\int_0^2\left(x^2+y^2+z^2\right)dx\right]dy\right\}dz\end{gathered}$

   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int _0^2\left\{\int_0^2\left[\left.\left(y^2x+z^2x+\frac{x^3}{3} \right)\right|_0^2\right]dy\right\}dz\end{gathered} }$

  $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int _0^2\left\{\int_0^2\left[\left(2y^2+2z^2+\frac{2^3}{3} \right)\right]dy\right\}dz\end{gathered} }$

  $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int _0^2\left\{\int_0^2\left[2y^2+2z^2+\frac{8}{3} \right]dy\right\}dz\end{gathered} }$

Feito isso, iremos calcular a outra integral. :)

    $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int _0^2\left\{\int_0^2\left[2y^2+2z^2+\frac{8}{3} \right]dy\right\}dz\end{gathered} }$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int _0^2\left\{\left[\left.\frac{2y^3}{3}+2z^2y+\frac{8}{3}y \right]\right|_0^2\right\}dz\end{gathered} }$

   $\large\displaystyle\begin{gathered} \int _0^2\left(\frac{16}{3}+4z^2+\frac{16}{3} \right)dz\end{gathered}$

     $\large\displaystyle\begin{gathered} \int _0^2\left(\frac{32}{3}+4z^2 \right)dz\end{gathered}$

• E por fim:

   $\large\displaystyle\begin{gathered} \int _0^2\left(\frac{32}{3}+4z^2 \right)dz\end{gathered}$

      $\large\displaystyle\begin{gathered}\left.\left(\frac{32}{3}z+\frac{4z^3}{3} \right)\right|_0^2\end{gathered}$

          $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{64}{3}+\frac{32}{3} \end{gathered}$

          $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{96}{3} = 32 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\boxed{\green{\int _0^2\int_0^2\int_0^2(x^2+y^2+z^2)dzdydx = 32}}}\ \checkmark\end{gathered} }$

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/48055738
• brainly.com.br/tarefa/46998424

Answer 2

✅ O valor que a integral tripla retorna é $\rm \cdots = 32 \,u{.}m$

 

☁️ [ Integral tripla ] Diz-se integral tripla o limite da soma de Riemann para três variáveis quando as partições dentro de um espaço tridimensional fechado aumentarem sua quantidade infinitamente

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \lim_{p,q,r \to \infty} \sum_{i = 1}^{p} \sum_{j=1}^{q} \sum_{k=1}^ {r} f(x_i {,}\: y_{j}{,}\: z_k ) \: \Delta V = \iiint_{\mathbb{D}} f(x_i {,}\: y_{j}{,}\: z_k )\,dxdydz}}}$

 

⚠️ Mas de nada serve esse conceito se não for calculável. Daí surge o conceito de integrais iteradas, tal conceito fica mais claro na resolução. O método que será utilizado parte do conceito de integral iterada.

 

❏ Teorema de Fubini para funções de três variáveis.

Considere o produto cartesiano abaixo, como o domínio de integração

$\large\begin{array}{lr}\rm C = [a,b] \times [c,d] \times [g,h]\end{array}$

❏ Logo:

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle \rm \int_{g}^{h} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x{,}\, y{,}\,z)\, dxdydz}}}$

 

O que o teo. de Fubini nos diz é que a diferencial de dada variável é quem manda na ordem de integração. É possível alterar a ordem da diferencial mudando a integral relacionada a ela, ao todo temos 6 possibilidades aplicando PFC. Temos uma função polinomial, então vamos por essa ordem mesmo.

 

✍️ Agora é só correr pro abraço!

$\displaystyle\large\begin{aligned}\rm\int_0^2\int^2_0\int_0^2 x^2 + y^2 + z^2 \, dzdydx &= \\\\ \rm \int_0^2 x^2 + y^2 + z^2 \, dz &=\left. \rm x^2z + y^2z + \frac{z^3}{3} \right]_0^2 =\rm 2x^2+ 2y^2 + \frac{8}{3}\\\\\rm \int_0^2 2x^2+ 2y^2 + \frac{8}{3}\,dy&=\rm \left.2x^2y+ \frac{2}{3}y^3 + \frac{8}{3}y\right]_0^2 = 4x^2+\frac{32}{3}\\\\\rm \int_0^2 4x^2+\frac{32}{3}\,dx&=\rm \left.\frac{4}{3}x^3+\frac{32}{3}x \right]_0^2 = \frac{96}{3}\end{aligned}$

 

❏ Avaliando a integral em relação a x via Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos

$\Large \red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore \: \int_0^2\int^2_0\int_0^2 x^2 + y^2 + z^2 \, dzdydx = 32\,u{.}m }}}}$

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre integrais triplas:

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$