Question

Resolve essa integral ?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\displaystyle{\int_0^1\sin^4\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx}=\dfrac{3}{8}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral, utilizaremos algumas técnicas de integração e propriedades das funções trigonométricas.

Seja $I=\displaystyle{\int_0^1\sin^4\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx$.

Aplicamos a fórmula de reflexão para integrais definidas: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx =\int_a^b f(a+b-x)\,dx$

$I=\displaystyle{\int_0^1\sin^4\left(\dfrac{\pi\cdot(1+0- x)}{2}\right)\,dx$

Some e multiplique valores

$I=\displaystyle{\int_0^1\sin^4\left(\dfrac{\pi- \pi x}{2}\right)\,dx$

Aplicamos a fórmula da soma de arcos: $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\alpha)$:

$I=\displaystyle{\int_0^1\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)- \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\right)^4\,dx$

Sabendo que $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ e $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$, teremos

$I=\displaystyle{\int_0^1\cos^4\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx$

Somando $I+I$, teremos:

$2I=\displaystyle{\int_0^1\sin^4\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)+\cos^4\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\,dx$

Então, reescrevemos o integrando como $1-\dfrac{\sin^2(\pi x)}{2}$ (veja o porquê no PDF em anexo)

$2I=\displaystyle{\int_0^11-\dfrac{\sin^2(\pi x)}{2}\,dx$

Aplique as regras da soma: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx = \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$ e da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx =a\cdot \int f(x)\,dx$.

$2I=\displaystyle{\int_0^11\,dx-\dfrac{1}{2}\cdot\int_0^1\sin^2(\pi x)\,dx$

Na segunda integral, reescrevemos $\sin^2(\pi x)=\dfrac{1-\cos(2\pi x)}{2}$, logo teremos:

$2I=\displaystyle{\int_0^11\,dx-\dfrac{1}{2}\cdot\int_0^1\dfrac{1-\cos(2\pi x)}{2}\,dx$

Aplique a regra da constante e da soma

$2I=\displaystyle{\int_0^11\,dx-\dfrac{1}{4}\cdot\left(\int_0^11\,dx-\int_0^1\cos(2\pi x)\,dx\right)$

Para calcularmos a terceira integral, fazemos uma substituição $\theta=2\pi x$, então derivamos ambos os lados para encontrarmos os diferenciais:

$d\theta=2\pi\,dx$

Isolando $dx$, temos

$dx=\dfrac{d\theta}{2\pi}$

Sabendo que ao substituirmos a variável, alteramos os limites, veja que quando $x\rightarrow 0,~\theta\rightarrow 2\pi$ e $x\rightarrow 1,~\theta\rightarrow 2\pi$, logo

$2I=\displaystyle{\int_0^11\,dx-\dfrac{1}{4}\cdot\left(\int_0^11\,dx-\int_0^{2\pi}\cos(\theta)\,\dfrac{d\theta}{2\pi}\right)$

Aplique a regra da constante e calcule as integrais, sabendo que:

• $\displaystyle{\int 1\,dx=\int x^0\,dx=x$.
• $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)$.

$2I={x~\biggr|_0^1-\dfrac{1}{4}\cdot\left(x~\biggr|_0^1-\dfrac{1}{2\pi}\cdot\sin\theta~\biggr|_0^{2\pi}\right)$

De acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, sabemos que $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, logo teremos:

$2I=(1-0)-\dfrac{1}{4}\cdot\left(1-0-\dfrac{1}{2\pi}\cdot(\sin(2\pi)-\sin(0))\right)$

Sabendo que $\sin(2\pi)=\sin(0)=0$, some e multiplique os valores

$2I=1-\dfrac{1}{4}$

Some as frações

$2I=\dfrac{3}{4}$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$I=\dfrac{3}{8}$

Este é o valor desta integral.

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