Question

resolve em IR a seguinte equação ...sin(2x)/1+cós(2x)=√3​

Answer 1

Resolver em ℝ a equação trigonométrica

    $\mathsf{\dfrac{sin(2x)}{1+cos(2x)}=\sqrt{3}}$

Condição de existência: O denominador não pode ser zero:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad 1+cos(2x)\ne 0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos(2x)\ne -1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 2x\ne \pi\cdot (2k+1)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x\ne \dfrac{\pi}{2}\cdot (2k+1)}$

com k inteiro.

Resolvendo a equação:

    $\mathsf{\dfrac{sin(2x)}{1+cos(2x)}=\sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad sin(2x)=\sqrt{3}\cdot (1+cos(2x))}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sin(2x)=\sqrt{3}+\sqrt{3}\,cos(2x)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sin(2x)-\sqrt{3}\,cos(2x)=\sqrt{3}}$

Multiplique ambos os lados por 1/2:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\cdot \left[sin(2x)-\sqrt{3}\,cos(2x) \right]=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,sin(2x)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,cos(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Mas podemos reescrever por exemplo

    $\mathsf{\dfrac{1}{2}=cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\quad e\quad \dfrac{\sqrt{3}}{2}=sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}$

Substituindo, a equação fica

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)sin(2x)-sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)cos(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sin(2x)\,cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-cos(2x)\,sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Perceba que o lado esquerdo da igualdade acima é a expansão do seno da diferença

    $\mathsf{sin\,\alpha\,cos\,\beta-cos\,\alpha\,sin\,\beta=sin(\alpha-\beta)}$

para $\mathsf{\alpha=2x}$  e $\mathsf{\beta=\dfrac{\pi}{3}.}$

Aplicando a fórmula ao lado esquerdo, podemos reescrever

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad sin\!\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sin\!\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}$

Para resolver uma igualdade entre senos, aplicamos o resultado

    $\mathsf{sin(\alpha)=sin(\beta)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \alpha=\beta+n\cdot 2\pi\quad ou\quad \alpha=(\pi-\beta)+n\cdot 2\pi}$

para $\mathsf{\alpha=2x-\dfrac{\pi}{3}}$  e $\mathsf{\beta=\dfrac{\pi}{3}.}$  Dessa forma, chegamos a

    $\mathsf{\Longleftrightarrow 2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+n\cdot 2\pi\quad ou\quad 2x-\dfrac{\pi}{3}=\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)+n\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow \quad 2x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+n\cdot 2\pi\quad ou\quad 2x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+n\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 2x=\dfrac{2\pi}{3}+n\cdot 2\pi\quad ou\quad 2x=\pi+n\cdot 2\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{6x}{3}=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{6n\pi}{3}\quad ou\quad 2x=\pi+2n\pi}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 6x=2\pi+6n\pi\quad ou\quad 2x=\pi+2n\pi}$

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad 6x=2\pi\cdot (1+3n)\quad ou\quad 2x=\pi\cdot (1+2n)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{2\pi}{6}\cdot (1+3n)\quad ou\quad x=\dfrac{\pi}{2}\cdot (1+2n)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{3}\cdot (1+3n)\quad ou\quad x=\dfrac{\pi}{2}\cdot (1+2n)}$

com n inteiro.

O caso em que $\mathsf{x=\dfrac{\pi}{2}\cdot (1+2n)}$  não se aplica, pois invalida a condição de existência para a solução (esses valores anulam o denominador).

Portanto, o conjunto solução é

    $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x=\dfrac{\pi}{3}\cdot (1+3n),~~com~n\in\mathbb{Z}\right\}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)