Question

Resolve as seguintes inequações modulares: (passo a passo por favor)
1) │2x²-3│>4

2) │x│²-4│x│+3 é maior ou igual a 0

3) │x²-3x│ é menor ou igual a 1

Answer 1

1) $|2x^{2}-3|>4$

$2x^{2}-3<-4\;\;\text{ ou }\;\;2x^{2}-3>4$


Resolvemos cada uma das inequações separadamente. A solução da inequação modular será a união das soluções das duas inequações acima.


$\bullet\;\;2x^{2}-3<-4\\ \\ 2x^{2}<-4+3\\ \\ 2x^{2}<-1\\ \\ x^{2}<-\dfrac{1}{2}$


Não existe número real que, elevado ao quadrado, seja menor que $-\dfrac{1}{2}.$ Portanto, a inequação não possui solução real:

$S_{1}=\varnothing$


$\bullet\;\;2x^{2}-3>4\\ \\ 2x^{2}>4+3\\ \\ 2x^{2}>7\\ \\ x^{2}>\dfrac{7}{2}$


Tirando a raiz quadrada dos dois lados da inequação, o sentido da desigualdade permanece o mesmo. E chegamos a

$\sqrt{x^{2}}>\sqrt{\dfrac{7}{2}}$


Para todo $x$ real, temos que

$\sqrt{x^{2}}=|x|$


Então

$|x|>\sqrt{\dfrac{7}{2}}\\ \\ \\ |x|>\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ |x|>\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ |x|>\dfrac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ \\ \\ |x|>\dfrac{\sqrt{14}}{2}\\ \\ \\ x<-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\;\;\text{ ou }\;\;x>\dfrac{\sqrt{14}}{2}$


O conjunto solução desta segunda desigualdade é

$S_{2}=\left(-\infty,\,-\dfrac{\sqrt{14}}{2} \right )\cup \left(\dfrac{\sqrt{14}}{2},\,+\infty \right)$


Portanto, o conjunto solução da inequação modular inicial é

$S=S_{1}\cup S_{2}\\ \\ \\ S=\varnothing \cup \left(-\infty,\,-\dfrac{\sqrt{14}}{2} \right )\cup \left(\dfrac{\sqrt{14}}{2},\,+\infty \right)\\ \\ \\ S=\left(-\infty,\,-\dfrac{\sqrt{14}}{2} \right )\cup \left(\dfrac{\sqrt{14}}{2},\,+\infty \right)$


2) $|x|^{2}-4|x|+3\geq 0$

Para esta inequação, vamos trocar as variáveis. Façamos

$y=|x|,\;\;\;\;\;y \geq 0$

($y$ não pode ser negativo pois é o módulo de um número real)


Substituindo na inequação inicial. agora temos que resolver

$y^{2}-4y+3\geq 0\\ \\ y^{2}-y-3y+3\geq 0\\ \\ y\,(y-1)-3\,(y-1)\geq 0\\ \\ (y-1)\,(y-3)\geq 0$


Para a inequação-produto acima, basta analisar o sinal de cada fator e verificar onde eles têm o mesmo sinal ou onde pelo menos um dos fatores é zero:

$y\leq 1\;\;\text{ ou }\;\;y\geq 3$


Substituindo de volta para a variável $x$, temos

$|x|\leq 1\;\;\text{ ou }\;\;|x|\geq 3\\ \\ -1\leq x \leq 1\;\;\text{ ou }\;\;x\leq -3\;\;\text{ ou }\;\;x\geq 3$


A solução para esta inequação é

$S=\left(-\infty,\,-3 \right ]\cup\left[-1,\,1 \right ]\cup \left[3,\,+\infty \right )$


3) $|x^{2}-3x|\leq 1$

$-1\leq x^{2}-3x \leq 1$


Acima, temos uma dupla desigualdade. Resolver esta dupla desigualdade, é equivalente a resolver simultaneamente duas desigualdades:

$\left\{ \begin{array}{cc} -1\leq x^{2}-3x&\;\;\;\;(i)\\ x^{2}-3x \leq 1&\;\;\;\;(ii) \end{array} \right.$


$\bullet\;\;-1\leq x^{2}-3x\;\;\;\;(i)\\ \\ x^{2}-3x+1\geq 0\\ \\ \\ \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 1\\ \\ \Delta=9-4\\ \\ \Delta=5\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ x_{1}=\dfrac{-(-3)-\sqrt{5}}{2\cdot 1}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{-(-3)+\sqrt{5}}{2\cdot 1}\\ \\ x_{1}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \end{array}$


A solução para a primeira inequação do sistema é

$x\leq x_{1}\;\;\text{ ou }\;\;x\geq x_{2} \\ \\ x \leq \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \;\;\text{ ou }\;\;x \geq \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\\ \\ \\ S_{1}=\left(-\infty,\,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right ]\cup\left[\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},\,+\infty \right)$


$\bullet\;\; x^{2}-3x\leq 1\;\;\;\;(ii)\\ \\ x^{2}-3x-1\leq 0\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)\\ \\ \Delta=9+4\\ \\ \Delta=13\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ x_{1}=\dfrac{-(-3)-\sqrt{13}}{2\cdot 1}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{-(-3)+\sqrt{13}}{2\cdot 1}\\ \\ x_{1}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}&\text{ e }&x_{2}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \end{array}$


A solução para a segunda inequação do sistema é

$x_{1}\leq x \leq x_{2}\\ \\ \dfrac{3-\sqrt{13}}{2} \leq x \leq \dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\\ \\ \\ S_{2}=\left[\dfrac{3-\sqrt{13}}{2},\,\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right ]$


Fazendo a interseção das soluções das inequações, temos a solução da dupla desigualdade:

$S=S_{1}\cap S_{2}\\ \\ S=\left[\dfrac{3-\sqrt{13}}{2},\,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right ]\cup\left[\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},\,\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right ]$