Question

resolve a equação exponencial a seguir: 2^2x - 2^x.2^1 +1= 0

Answer 1

Observando atentamente a equação, é possível identificar uma semelhança com uma equação de 2° grau.

$2^{2x}~-~2^x\cdot2^1~+~1~=~0$

Vamos tentar então evidenciar essa semelhança.

Começamos aplicando a propriedade das potencias de potencia:

$\left(2^x\right)^2\,-~2^1\cdot2^x~+~1~=~0$

Note que, substituindo 2× por uma variável qualquer, podemos "transformar" a equação exponencial em uma equação de 2° grau.

$(y)^2\,-~2\cdot y~+~1~=~0\\\\\\\boxed{y^2~-~2y~+~1~=~0}$

Calculando as raízes por Bhaskara (vou omitir os cálculos), chegamos a duas raízes Reais e iguais (raiz de multiplicidade 2) com valor 1.

$\boxed{y'~=~y''~=~1}$

Vamos lembrar, no entanto, que esta é a raiz para a equação quadrática obtida a partir da equação exponencial, ou seja, precisamos ainda verificar se essa raiz atende, também, à equação exponencial.

Sendo assim, vamos voltar com a substituição:

$\boxed{2^x~=~y}\\\\\\2^x~=~1\\\\\\2^x~=~2^0\\\\\\2\!\!\!\backslash^x~=~2\!\!\!\backslash^0\\\\\\\boxed{\boxed{x~=~0}}$

Verificamos então que sim, a raiz y=1 atende à equação exponencial resultando na solução, da eq. exponencial, x=0.

Resposta:  x=0