Question

Resolvam
|x-2/x+3|<2

Answer 1

Resposta:

$x > -4/3$ ou $x < -8$.

Explicação passo-a-passo:

Veja que $\dfrac{|x-2|}{|x+3|} < 2 \Rightarrow |x-2| < 2|x+3| \Rightarrow \sqrt{(x-2)^2} < 2\sqrt{(x+3)^2}$.

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: $(x-2)^2 < 4(x+3)^2$.

Daí segue que, expandindo, $x^2 - 4x + 4 < 4x^2 + 24 + 36 \Rightarrow 3x^2 + 28x + 32 > 0$

Resolvendo por Bhaskara, temos como raízes, $-8$ e $-\dfrac{4}{3}$. Note que o coeficiente de $x^2$ é positivo, portanto a equação tem valor minimo, que está situado entre -8 e -4/3.

Segue então que $x < -8$ ou então. $x > -\dfrac{4}{3}$

Answer 2

$|\frac{x - 2}{x + 3}| < 2$

$\frac{x - 2}{x + 3} > - 2 \\ \frac{x - 2}{x + 3} + 2 > 0 \\ \frac{x - 2 + 2(x + 3)}{x + 3} > 0$

$\frac{x - 2 + 2x + 6}{x + 3} > 0 \\ \frac{3x + 4}{x + 3} > 0$

f(x)=3x+4

raiz: x=-4/3

f(x) >0 para x>-4/3 e f(x)<0 para x<-4/3

g(x) =x+3

raiz: x=-3

g(x) >0 para x>-3 e g(x)<0 para x<-3

quadro de sinal:

-3 -4/3

f(x) –––|––––––|++++++

g(x) ––––|+++++++|++++++

f(x)/g(x) +++++|––––––|++++++

S₁={x∈lR/ x<-3 ou x>-4/3}

$\frac{x - 2}{x + 3} < 2 \\ \frac{x - 2}{x + 3} - 2 < 0 \\ \frac{x - 2 - 2(x + 3)}{x + 3} < 0$

$\frac{x - 2 - 2x - 6}{x + 3} < 0 \\ \frac{ - x - 8}{x + 3} < 0$

h(x)=-x-8

raiz= x=-8

h(x) >0 para x<–8 e h(x)<0 para x>–8

Quadro sinal:

-8 -3

h(x) +++++|–––––|–––––

g(x) ––––|–––––|++++++

h(x)/g(x) ––––|++++++|–––––

S₂={x∈lR/x<–8 ou x>–3}

A solução geral da inequação modular é feita fazendo a interseção de

S₁ com S₂ daí

S={x∈lR/ x<–8 ou x>–4/3}

Veja a foto para entender a interseção dos valores.