Question

resolvam por fv, vlw! $15 ^{6} . 10^{4} . 6^{5} . 12^{7} \\----- \\ 30^{5} . 18^{3}$

Answer 1

Olá Luno, vou te ajudar com essa questão.

$\frac{15^6~.~10^4~.~6^5~.~12^7}{30^5.18^3}$

Vou "Quebrar" essa equação em várias potencias diferentes para assim poder cortar alguma delas.

Observe o 18³, podemos dizer que ele é o mesmo que (3.6)³, que é o mesmo que 3³.6³

Usei isso só de exemplo para você poder visualisar melhor. Se preferir você pode fazer na calculadora 3³ . 6³ e comparar com o resultado de 18³.

Bom, agora eu vou fazer essas substituições direto na conta, se ficar em duvida em alguma é só dizer.

$\frac{15^6~.~10^4~.~6^5~.~12^7}{30^5.18^3} \\\\ \\\frac{15^6~.~10^4~.~6^5~.~12^7}{(2~.~15)^5.(3~.~6)^3} \\\\\\ \frac{15^6~.~10^4~.~6^5~.~12^7}{2^5~.~15^5~.~3^3~.~6^3}$

Agora podemos simplificar o 15 e o 6
Lembrando que quando temos divisões com potencias de mesma base podemos apenas subtrair os expoentes:


$\frac{15^{6-5}~.~10^4~.~6^{5-3}~.~12^7}{2^5~.~3^3} \\\\ \frac{15^{1}~.~10^4~.~6^{2}~.~12^7}{2^5~.~3^3}$

Eu poderia parar por ai e calcular normalmente mas ainda não estou satisfeito com esses números tão grandes kk.
Vou tentar transformar um pedaço da parte que está dividindo em base 12.

Perceba que:

$2^5 ~.~3^3 = 2.2.2.2.2~.~3.3.3 = (2.2.3).(2.2.3)~.~2.3 = \\ (2.2.3)^2~.~ 6 = (12)^2~.~6^1$

Agora vamos substituir isso que encontramos na nossa fração

$\frac{15^{1}~.~10^4~.~6^{2}~.~12^7}{(12)^2~.~6^1} \\\\\\ 15^1 ~.~ 10^4 ~.~ 6^{2-1} ~.~ 12^{7-2} \\\\ 15 ~.~ 10^4 ~.~6^1~.~12^5$

Agora não tem mais como simplificar :c
Vamos ter que calcular tudo e calcular

$15 ~.~ 10^4 ~.~6^1~.~12^5 \\\\ 15 ~.~10000~.~6~.~248832 = \boxed{223~948~800~000}$


Compreendo que é muita coisa, más é só porque eu deixei beeeem explicado.
Eu poderia simplismente fazer toda a potenciação e resolver, más eu considero inviável sem uma calculadora...

Enfim, se não tiver entendido alguma coisa pode dizer ^^