Question

Resolvam as racionalizações:

Answer 1

Questão 03) $4^{-0,5}-2^{0}$

 $=4^{-1/2}-1\\ \\ =\frac{1}{4^{1/2}}-1\\ \\ =\frac{1}{\sqrt{4}}-1\\ \\ =\frac{1}{2}-1\\ \\ =\frac{1}{2}-\frac{2}{2}\\ \\ =\frac{1-2}{2}\\ \\ =-\frac{1}{2}\\ \\ =-0,5$


Resposta: alternativa $\text{c) }-0,5.$


Questão 04) Simplificar a expressão

$2\sqrt{72}+7\sqrt{98}-2\sqrt{50}+3\sqrt{32}$
 

Vamos decompor os radicandos (termos "dentro das raízes quadradas") em fatores que sejam quadrados perfeitos:

$2\sqrt{72}+7\sqrt{98}-2\sqrt{50}+3\sqrt{32}\\ \\ =2\sqrt{36\cdot 2}+7\sqrt{49\cdot 2}-2\sqrt{25\cdot 2}+3\sqrt{16\cdot 2}\\ \\ =2\cdot \sqrt{36}\cdot \sqrt{2}+7\cdot \sqrt{49}\cdot\sqrt{ 2}-2\cdot \sqrt{25}\cdot\sqrt{2}+3\cdot \sqrt{16}\cdot \sqrt{2}\\ \\ =2\cdot \sqrt{6^{2}}\cdot \sqrt{2}+7\cdot \sqrt{7^{2}}\cdot\sqrt{ 2}-2\cdot \sqrt{5^{2}}\cdot\sqrt{2}+3\cdot \sqrt{4^{2}}\cdot \sqrt{2}\\ \\ =2\cdot 6\sqrt{2}+7\cdot 7\sqrt{ 2}-2\cdot5\sqrt{2}+3\cdot 4\sqrt{2}\\ \\ =12\sqrt{2}+49\sqrt{ 2}-10\sqrt{2}+12\sqrt{2}$


Colocando $\sqrt{2}$ em evidência e somando os coeficientes,

$=(12+49-10+12)\sqrt{2}\\ \\ =63\sqrt{2}$


Resposta: alternativa $\text{b) }63\sqrt{2}.$


Questão 05) Simplificar a expressão

$\sqrt{32}-\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{50}$


De forma análoga à questão anterior, decompondo os radicandos em fatores que sejam quadrados perfeitos:

$\sqrt{32}-\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{50}\\ \\ =\sqrt{16\cdot 2}-\sqrt{4\cdot 5}+\sqrt{9\cdot 5}-\sqrt{25\cdot 2}\\ \\ =\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{9}\cdot\sqrt{5}-\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}\\ \\ =\sqrt{4^{2}}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{2^{2}}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{3^{2}}\cdot\sqrt{5}-\sqrt{5^{2}}\cdot \sqrt{2}\\ \\ =4\sqrt{2}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-5\sqrt{2}$


Agrupando os termos com radicais semelhantes,

$=4\sqrt{2}-5\sqrt{2}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}\\ \\ =(4-5)\sqrt{2}+(-2+3)\sqrt{5}\\ \\ =-\sqrt{2}+\sqrt{5}\\ \\ =\sqrt{5}-\sqrt{2}$


Resposta: alternativa $\text{d) }\sqrt{5}-\sqrt{2}.$


Questão 06) $^{3}\!\!\!\sqrt{54}\cdot\,^{6}\!\!\!\sqrt{9}$

Vou decompor o $54$ para que apareça um fator cúbico perfeito:

$=\,^{3}\!\!\!\sqrt{27\cdot 2}\cdot \,^{6}\!\!\!\sqrt{9}\\ \\ =\,^{3}\!\!\!\sqrt{27}\cdot\,^{3}\!\!\!\sqrt{2}\cdot \,^{6}\!\!\!\sqrt{9}\\ \\ =\,^{3}\!\!\!\sqrt{3^{3}}\cdot\,^{3}\!\!\!\sqrt{2}\cdot \,^{6}\!\!\!\sqrt{9}\\ \\ =3\,^{3}\!\!\!\sqrt{2}\cdot \,^{6}\!\!\!\sqrt{9}$


Agora, acho mais conveniente trabalhar com expoentes fracionários:

$=3\cdot 2^{1/3}\cdot 9^{1/6}\\ \\ =3\cdot 2^{1/3}\cdot (3^{2})^{1/6}\\ \\ =3\cdot 2^{1/3}\cdot 3^{2\,\cdot\,1/6}\\ \\ =3\cdot 2^{1/3}\cdot 3^{2/6}\\ \\ =3\cdot 2^{1/3}\cdot 3^{1/3}\\ \\ =3\cdot (2\cdot 3)^{1/3}\\ \\ =3\cdot 6^{1/3}\\ \\ =3\,^{3}\!\!\!\sqrt{6}$


Resposta: alternativa $\text{c) }3\,^{3}\!\!\!\sqrt{6}.$