Question

resolva usando regra de Cramer
2x + 3y - z= 5
x+ y + z= 6
3x + 5y - 4z=1​

Answer 1

Após solucionarmos o sistema através da Regra de Cramer encontramos os valores:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left S= ({1,2,3} \right) } }$

Solução de Sistemas Lineares - Regra de Cramer

Seja o  sistema de equação:

$2x + 3y - z= 5\\x+ y + z= 6\\3x + 5y - 4z=1$  

Vamos achar o determinante (D) da matriz 3 x 3 abaixo, formada pelos termos ou elementos (coeficientes) dos três sistemas de equações. Deixamos de fora os termos independentes (depois da igualdade) que são 5, 6 e 1.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left \left[\begin{array}{ccc}2&3&-1\\1&1&1\\3&5&-4\end{array}\right] \right } } \left[\begin{array}{ccc}2&3&\\1&1&\\3&5&\end{array}\right]$  

Usando a Regra de Cramer vamos multiplicar os elementos da diagonal principal ( 2 . 1 . -4 + 3.1.3 - 1.1.5 = -8 + 9 -5 = -4) e os elementos da diagonal secundária (3.1.-1 + 5.1.2 - 4.1.3 =  + 5) . Ao final subtraímos os dois resultados:

$D = -4 + 5 \therefore D = 1$

Agora vamos calcular Dx trocando os coeficientes de x pelos termos independentes e formando nova matriz 3 x 3.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left \left[\begin{array}{ccc}5&3&-1\\6&1&1\\1&5&-4\end{array}\right] \right } } \left[\begin{array}{ccc}5&3&\\6&1&\\1&5&\end{array}\right]$

Calculamos Dx usando o mesmo processo anterior (produto da diagonal principal menos produto da diagonal secundária):

$\large \displaystyle \mathsf{ \left Dx = (-20 + 3 - 30) - (-1 + 25 - 72) \right }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \left Dx = - 47 - (-48) \therefore Dx = 1 \right }$

Calculamos Dy da mesma forma que calculamos Dx, formando outra matriz substituindo os coeficientes de y pelos termos independentes conforme abaixo:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left \left[\begin{array}{ccc}2&5&-1\\1&6&1\\3&1&-4\end{array}\right] \right } } \left[\begin{array}{ccc}2&5&\\1&6&\\3&1&\end{array}\right]$

produto da diagonal principal menos produto da diagonal secundária:

$Dy \large \displaystyle \mathsf{ \leftDy = ( - 48 + 15 - 1) - (-18 + 2 - 20) \right) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \left Dy = - 34 + 36 \therefore Dy = 2 \right }$

Por último calculamos Dz montando uma matriz 3 x 3 com os termos de z trocados pelos termops independenytes, e também subtraindo o produto da diagonal secundária do produto da diagonal principal:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left \left[\begin{array}{ccc}2&3&5\\1&1&6\\3&5&1\end{array}\right] \right } } \left[\begin{array}{ccc}2&3&\\1&1&\\3&5&\end{array}\right]$

$\large \displaystyle \mathsf{ \left Dz = (2+54+25)-(15+60+3) \right }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \left Dz= 81-78\therefore Dz = 3 \right }$

Calculando x:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left x=\frac{Dx}{D}\therefore x = \frac{1}{1}\therefore x = 1 \right } }$

Calculando y:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left y=\frac{Dy}{D}\therefore y = \frac{2}{1}\therefore y = 2 \right } }$

Calculando z:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left z=\frac{Dz}{D}\therefore z = \frac{3}{1}\therefore z = 3 \right } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left S= ({1,2,3} \right) } }$

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