Question

Resolva, usando o método do escalonamento, o seguinte sistema
X + Y + 2z = 8
-X + 2Y + 3z = 1
3x + 7y + 4z = 10

Answer 1

Olá

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}~~x+y+2z=8\\-x+2y+3z=1~\\3x+7y+4z=10\end{array}\right$

Temos que zerar o 'x' da segunda linha, Para isso basta fazer a seguinte operação

L2 = L1 + L2

A operação descrita acima quer dizer que, a nova linha 2 (L2) é a soma da linha 1 (L1) com a linha (L2)

$L2 = ~~ ~~ x + y + 2z = 8 \\ ~~~~~ ~~~~\underline{-x + 2y + 3z = 1 }\\~~~~~ ~~ ~~~~~~ \mathsf{3y+5z=9}~~~~~~~ ~~~~~~~~~\longleftarrow \text{Esta e a nova linha 2}$


Agora temos que zerar o 'x' da terceira linha.

L3 = -3L1 + L3

A operação acima significa , temos que multiplicar a 1ª linha(L1)
por (-3) e em seguida somar com a linha 3 (L3), para encontrar
a nova linha 3 .

$L1:~~ x+y+2z=8~~~~~~~~~~ ~\cdot (-3)\\\\-3L1: ~~-3x-3y-6z=-24\\\\\\\text{Agora soma~r com a linha 3}\\\\\\L3=~~ ~~-3x-3y-6z=-24\\~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~\underline{3x+7y+4z=10~~~}\\~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~~ ~~\mathsf{4y-2z=-14}~~~~~~~~\longleftarrow \text{Esta e a nova linha 3 'parcial'}$


Agora temos que zerar o 'y' da 3ª linha
Lembrando que só usaremos as novas linhas que encontramos.

L3 = -4L2 + 3L3

Temos que multiplicar a 2ª linha (nova) por -4, e a 3ª linha (nova) por 3, e depois somá-las.

$L2:~~~~3y+5z=9~~~~~ ~~~ ~\cdot (-4)\\\\-4L2:~~~-12y-20z=-36\\\\\\L3:~~4y-2z=-14~~~~~~ ~~~~ \cdot (3)\\\\3L3:~~~~~12y-6z=-42\\\\\\\text{Soma as duas}\\\\-12y-20z=-36\\~~~~~\underline{12y-6z=-42}\\~~~-26z=-78~~~~ ~~~~~~ \longleftarrow \text{Esta e nossa nova linha 3}$


O sistema escalonado ficou dessa forma

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}~~x+y+2z=8\\~~~~~~3y+5z=9~\\~~~~ ~ ~~ ~-26z=-78\end{array}\right$


Agora é só encontrar os valores da incógnitas

Da 3ª linha tiramos

$\displaystyle -26z=-78\\\\z= \frac{-78}{-26} \\\\\boxed{\mathsf{z=3}}$


Substituindo o valor de 'z' na 2ª linha para encontrar o valor do 'y'.

$\displaystyle 3y+5z=9\\3y+5\cdot(3)=9\\3y=9-15\\3y=-6\\\\y= \frac{-6}{3} \\\\\boxed{\mathsf{y=-2}}$


Substituindo o valor de 'y' e 'z' na 1ª linha para encontrar o valor do 'x'

$\displaystyle x+y+2z=8\\x-2+2\cdot(3)=8\\x-2+6=8\\x+4=8\\x=8-4\\\\\boxed{\mathsf{x=4}}$



Conjunto solução

$\boxed{S=\{4,-2,3\}}$

Sistema SPD.