Question

Resolva usando o método correspondente
dy/dx = x+3y/3x+y

Answer 1

Resposta:

     $y=-x\quad\mathrm{ou}\quad y=x\quad\mathrm{ou}\quad\dfrac{x+y}{(x-y)^2}=C$

com $C\ne 0.$

Explicação passo a passo:

Resolver a equação diferencial ordinária (EDO):

     $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+3y}{3x+y}$

Assumindo x ≠ 0, podemos escrever a equação como

     $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x(1+3\frac{y}{x})}{x(3+\frac{y}{x})}\\\\ \Longrightarrow\quad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1+3\frac{y}{x}}{3+\frac{y}{x}}\qquad\mathrm{(i)}\end{array}$

Conseguimos escrever a equação diferencial na forma

     $\dfrac{dy}{dx}=F\left(\dfrac{y}{x}\right)$

Logo, esta é uma EDO homogênea.

Faça a seguinte mudança de variável:

     $\begin{array}{lcll} y=u\cdot x&\quad\Longrightarrow\quad &\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{d}{dx}(u\cdot x)\\\\ &&&=\dfrac{du}{dx} \cdot x+u\cdot \dfrac{d}{dx}(x)\\\\ &&&=\dfrac{du}{dx} \cdot x+u\cdot 1\\\\ &&&=x\dfrac{du}{dx}+u\end{array}$

Substituindo em (i), a equação diferencial fica

     $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad x\dfrac{du}{dx}+u=\dfrac{1+3\frac{u\cdot x}{x}}{3+\frac{u\cdot x}{x}}\\\\ \Longrightarrow\quad x\dfrac{du}{dx}+u=\dfrac{1+3u}{3+u}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1+3u}{3+u}-u\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1+3u-u(3+u)}{3+u}\end{array}$

     $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad x\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1+3u-3u-u^2}{3+u}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1-u^2}{3+u}\end{array}\qquad\mathrm{(ii)}$

Agora temos uma equação diferencial separável.

• Soluções triviais:

     $1-u^2=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad u=\pm\,1\\\\ \Longrightarrow\quad y=\pm\,x\qquad\checkmark$

• Outras soluções (para $u^2\ne 1$):

Separando as variáveis, a equação (ii) fica:

     $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad \dfrac{3+u}{1-u^2}\,du=\dfrac{1}{x}\,dx\\\\ \dfrac{3+u}{(1-u)(1+u)}\,du=\dfrac{1}{x}\,dx\end{array}$

Decompondo o lado esquerdo em frações parciais, temos

     $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad \dfrac{2+2u+1-u}{(1-u)(1+u)}\,du=\dfrac{1}{x}\,dx\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{2(1+u)+1(1-u)}{(1-u)(1+u)}\,du=\dfrac{1}{x}\,dx\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left(\dfrac{2}{1-u}+\dfrac{1}{1+u}\right)du=\dfrac{1}{x}\,dx \end{array}$

Integrando ambos os lados, obtemos

     $\Longleftrightarrow\quad -2\ln|1-u|+\ln|1+u|=\ln|x|+C_1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -2\ln|1-u|+\ln|1+u|-\ln|x|=C_1$

Aplicando propriedades dos logaritmos, temos

     $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad \ln\left|\dfrac{1+u}{(1-u)^2\cdot x}\right|=C_1\end{array}$

Substituindo de volta $u=\dfrac{y}{x},$ chegamos a

     $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad \ln\left|\dfrac{1+\frac{y}{x}}{(1-\frac{y}{x})^2\cdot x}\right|=C_1\end{array}$

Aplicando exponenciais a ambos os lados, temos

    $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad\left|\dfrac{1+\frac{y}{x}}{(1-\frac{y}{x})^2\cdot x}\right|=e^{C_1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1+\frac{y}{x}}{(1-\frac{y}{x})^2\cdot x}=\pm\,e^{C_1}\end{array}$

Fazendo $\pm\,e^{C_1}=C\ne 0,$ temos

    $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1+\frac{y}{x}}{(1-\frac{y}{x})^2\cdot x}=C\end{array}$

Multiplicando o numerador e o denominador do lado esquerdo por x ≠ 0, temos

     $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad \dfrac{(1+\frac{y}{x})\cdot x}{(1-\frac{y}{x})^2\cdot x^2}=C\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{x+y}{[(1-\frac{y}{x})\cdot x]^2}=C\end{array}$

   $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x+y}{(x-y)^2}=C\qquad\checkmark$

com $C\ne 0.$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!