Question

Resolva usando o método correspondente
(9+e^-x)dy/dx-(41+y^2)=0

Answer 1

Resposta:   $y=\sqrt{41}\,\mathrm{tg}\! \left[\dfrac{\sqrt{41}}{9}\ln(9e^x+1)+C\right]$

com $C\in\mathbb{R}.$

Explicação passo a passo:

Resolver a equação diferencial ordinária (EDO):

     $\begin{array}{l} (9+e^{-x})\,\dfrac{dy}{dx}-(41+y^2)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad (9+e^{-x})\,\dfrac{dy}{dx}=41+y^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{41+y^2}{9+e^{-x}}\end{array}$

Esta é uma EDO separável. Fazendo a separação de variáveis, temos

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{41+y^2}\,dy=\dfrac{1}{9+e^{-x}}\,dx$

Integre ambos os lados:

     $\begin{array}{l} \displaystyle\Longleftrightarrow\quad \int\frac{1}{41+y^2}\,dy=\int\frac{1}{9+e^{-x}}\,dx\qquad\mathrm{(i)}\end{array}$

A integral do lado esquerdo na variável y pode ser resolvida por substituição trigonométrica:

     $\begin{array}{l} \displaystyle\int\frac{1}{41+y^2}\,dy\\\\ \displaystyle =\int\frac{1}{(\sqrt{41})^2+y^2}\,dy\end{array}$

Faça a seguinte substituição:

     $y=\sqrt{41}\,\mathrm{tg\,}t\quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} dy=\sqrt{41}\sec^2 t\,dt\\\\ t=\mathrm{arctg\,}\dfrac{y}{\sqrt{41}}\end{array}\right.$

com $-\,\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}.$

Além disso, temos

     $\begin{array}{l} (\sqrt{41})^2+y^2\\\\ =(\sqrt{41})^2+(\sqrt{41}\,\mathrm{tg\,}t)^2\\\\ =41\cdot (1+\mathrm{tg^2\,}t)\\\\ =41\sec^2 t\end{array}$

Substituindo, a integral fica

     $\begin{array}{l} \displaystyle =\int\frac{1}{41\sec^2\,t}\cdot \sqrt{41}\sec^2\,t\,dt\\\\ \displaystyle =\dfrac{\sqrt{41}}{41}\int 1\,dt\\\\ =\dfrac{1}{\sqrt{41}}\,t+C_1\\\\ =\dfrac{1}{\sqrt{41}}\,\mathrm{arctg\,}\dfrac{y}{\sqrt{41}}+C_1\qquad\mathrm{(ii)}\end{array}$

Resolvendo a integral do lado direito de (i):

     $\displaystyle\int\frac{1}{9+e^{-x}}\,dx$

Multiplique o numerador e o denominador por $9e^x:$

     $\begin{array}{l} \displaystyle =\int\frac{9e^x}{(9+e^{-x})\cdot 9e^x}\,dx\\\\ \displaystyle =\int\frac{1}{(9e^x+1)\cdot 9}\cdot 9e^x\,dx\\\\ \displaystyle =\frac{1}{9}\int\frac{1}{9e^x+1}\cdot 9e^x\,dx\end{array}$

Faça a substituição

     $9e^x+1=u\quad\Longrightarrow\quad 9e^x\,dx=du$

com u > 1, e a integral fica

     $\begin{array}{l} \displaystyle =\frac{1}{9}\int\frac{1}{u}\,du\\\\ =\dfrac{1}{9}\ln u+C_2\\\\ =\dfrac{1}{9}\ln(9e^x+1)+C_2\qquad\mathrm{(iii)}\end{array}$

Substituindo em (i), obtemos

     $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt{41}}\,\mathrm{arctg\,}\dfrac{y}{\sqrt{41}}=\dfrac{1}{9}\ln(9e^x+1)+C_3\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{arctg\,}\dfrac{y}{\sqrt{41}}=\dfrac{\sqrt{41}}{9}\ln(9e^x+1)+C\\\\\\ \Longrightarrow\quad \dfrac{y}{\sqrt{41}}=\mathrm{tg}\! \left[\dfrac{\sqrt{41}}{9}\ln(9e^x+1)+C\right]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=\sqrt{41}\,\mathrm{tg}\! \left[\dfrac{\sqrt{41}}{9}\ln(9e^x+1)+C\right]\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}$

com $C\in\mathbb{R}.$

Obs.: A constante $C$ só poderá assumir valores para os quais a tangente do arco esteja definida, ou seja, devemos ter

     $\dfrac{\sqrt{41}}{9}\ln(9e^x+1)+C\ne (2k+1)\,\dfrac{\pi}{2}\,, \qquad\mathrm{para~todo~}k\in\mathbb{Z}.$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)