Question

RESOLVA USANDO LÓGICA MATEMÁTICA
Prove que, para qualquer inteiro positivo n, o número 2^²n — 1 é divisível por 3.

Answer 1

Prova por indução:

Caso base: n = 1.

${2}^{2.1} - 1 = 3$

que é divisível por 3.

Caso geral: Suponha que para n > 1, esta expressão seja divisível por 3:

$2 {}^{ 2 n} - 1$

Provar que vale para n + 1:

$2^{2.(n + 1)} - 1 \\ \\ 2^{2n + 2} - 1 \\ \\ 4. {2}^{2n} - 1 \\ \\ 3.{2}^{2n} + (2 {}^{2n} - 1)$

Como 3.2^2n é divisível por 3 e 2^2n-1 também, logo a expressão é divisível por 3.

Portanto, está provado por indução matemática finita nos números inteiros positivos.

Answer 2

Resposta:

Prova por indução:

Caso base: n = 1.

que é divisível por 3.

Caso geral: Suponha que para n > 1, esta expressão seja divisível por 3:

Provar que vale para n + 1:

Como 3.2^2n é divisível por 3 e 2^2n-1 também, logo a expressão é divisível por 3.

Portanto, está provado por indução matemática finita nos números inteiros positivos.