Question

Resolva usando EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:
O café está a 90°C logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85°C. A temperatura da cozinha é constante igual a 25°C. Determine quanto tempo levará para que o café chegue a 60°C.

Answer 1

Seja u(t) a função que descreve a tempertatura da sala de acordo com o tempo. Imagino que o exercício utilize o resfriamento de newton como base, que descreve que

$\dfrac{d u}{d t} = k(u-T)$

Onde T é a temperatura ambiente. Nosso objetivo é resolver a equação diferencial de primeira ordem

Perceba que é uma equação diferencial separável,

$\dfrac{1}{u-25} \, du = k\,dt$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{u-25}\, du = \int k \, dt$

$\ln(u-25)=kt+C$

$u-25=e^{kt+C} = Ce^{kt}$

$\therefore u(t) = 25+Ce^{kt}$

Vamos encontrar agora nossas constantes C e k com os dados que temos.

Sabemos que u(0) = 90, assim,

$u(0)=25+C=90 \implies C=65$

Para obter k, usamos o fato que u(1) = 85,

$u(1) = 25+65e^{k}=85 \implies e^k=\dfrac{60}{65}=\dfrac{12}{13}$

$k=\ln\left(\dfrac{12}{13}\right)$

$u(t)=25+65e^{kt}$

Queremos saber o tempo tal que u(t)=60, encontramos a inversa, obtendo

$t=\dfrac{1}{k}\ln\left(\dfrac{u-25}{65}\right)$

$t=\dfrac{1}{k}\ln\left(\dfrac{60-25}{65}\right) = \dfrac{1}{k}\ln\left(\dfrac{35}{65}\right)$

$t \approx 7.73 \hspace{0.15cm} \mathrm{min}$