Question

Resolva, usando a Regra de Cramer:
$\left\{ \begin{array}{lr}\sf x - y + z = \: \: \: - 5 \\ \sf x + 2y +4z = \: \;5 \\\sf 3x + y - 2z = - 3\end{array}\right$

Answer 1

Temos um sistema linear 3x3:

$\begin{cases}\sf x-y+z=-5\\\\ \sf x+2y+4z=5\\\\ \sf3x+y-2z=-3\end{cases}$

ㅤ

O objetivo aqui é determinar os valores de x, y e z pela Regra de Cramer. Segue a resolução desta regra

Para encontrar os valores das incógnitas usaremos:

$\large\begin{array}{l}\boxed{\boxed{\sf x=\dfrac{D_x}{D}~~~,~~~y=\dfrac{D_y}{D}~~~,~~~z=\dfrac{D_z}{D}}}\end{array}$

Onde "D" representa o determinante de uma matriz 3x3. Para calculá-lo, os elementos desta matriz serão os coeficientes das equações do primeiro membro:

$\sf D=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -1&\sf 1\\ \sf 1&\sf 2&\sf 4\\ \sf 3&\sf 1&\sf -2\end{vmatrix}$

• Pela Regra de Sarrus: repita as duas colunas iniciais ao lado da matriz, multiplique a diagonal principal, e subtraia da multiplicação da diagonal secundária

$\sf D=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -1&\sf 1\\ \sf 1&\sf 2&\sf 4\\ \sf 3&\sf 1&\sf -2\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf -1\\ \sf 1&\sf 2\\ \sf 3&\sf 1\end{matrix}$

$\sf D=1.2.(-2)+(-1).4.3+1.1.1-[1.2.3+1.4.1+(-1).1.(-2)]$

$\sf D=-4-12+1-[6+4+2]$

$\sf D=-15-[12]$

$\boxed{\sf D=-27}$

ㅤ

Agora vamos calcular Dx, Dy e Dz

ㅤ

$\large\begin{array}{l}\boxed{\boxed{\sf D_x}}\end{array}$

Utilizando a mesma matriz de antes, troque a primeira coluna pelos termos independentes do segundo membro do sistema, ficando:

$\sf D_x=\begin{vmatrix}\sf -5&\sf -1&\sf 1\\ \sf 5&\sf 2&\sf 4\\ \sf -3&\sf 1&\sf -2\end{vmatrix}$

Pela Regra de Sarrus:

$\sf D_x=\begin{vmatrix}\sf -5&\sf -1&\sf 1\\ \sf 5&\sf 2&\sf 4\\ \sf -3&\sf 1&\sf -2\end{vmatrix} \begin{matrix}\sf -5&\sf -1\\ \sf 5&\sf 2\\ \sf -3&\sf 1\end{matrix}$

$\sf D=(-5).2.(-2)+(-1).4.(-3)+1.5.1-[1.2.(-3)+(-5).4.1+(-1).5.(-2)]$

$\sf D_x=20+12+5-[-6-20+10]$

$\sf D_x=37-[-16]$

$\sf D_x=37+16$

$\boxed{\sf D_x=53}$

ㅤ

$\large\begin{array}{l}\boxed{\boxed{\sf D_y}}\end{array}$

Desta vez troque a segunda coluna pelos termos independentes do segundo membro do sistema, ficando:

$\sf D_y=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -5&\sf 1\\ \sf 1&\sf 5&\sf 4\\ \sf 3&\sf -3&\sf -2\end{vmatrix}$

Pela Regra de Sarrus:

$\sf D_y=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -5&\sf 1\\ \sf 1&\sf 5&\sf 4\\ \sf 3&\sf -3&\sf -2\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf -5&\\ \sf 1&\sf 5\\ \sf 3&\sf -3\end{matrix}$

$\sf D_y=1.5.(-2)+(-5).4.3+1.1.(-3)-[1.5.3+1.4.(-3)+(+5).1.(-2)]$

$\sf D_y=-10-60-3-[15-12+10]$

$\sf D_y=-73-[13]$

$\boxed{\sf D_y=-86}$

ㅤ

$\large\begin{array}{l}\boxed{\boxed{\sf D_z}}\end{array}$

Desta vez troque a terceira coluna pelos termos independentes do segundo membro do sistema, ficando:

$\sf D_z=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -1&\sf -5\\ \sf 1&\sf 2&\sf 5\\ \sf 3&\sf 1&\sf -3\end{vmatrix}$

Pela Regra de Sarrus:

$\sf D_z=\begin{vmatrix}\sf 1&\sf -1&\sf -5\\ \sf 1&\sf 2&\sf 5\\ \sf 3&\sf 1&\sf -3\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 1&\sf -1\\ \sf 1&\sf 2\\ \sf 3&\sf 1\end{matrix}$

$\sf D_z=1.2.(-3)+(-1).5.3+(-5).1.1-[-5.2.3+1.5.1+(-1).1.(-3)]$

$\sf D_z=-6-15-5-[-30+5+3]$

$\sf D_z=-26-[-22]$

$\sf D_z=-26+22$

$\boxed{\sf D_z=-4}$

ㅤ

Agora que temos D, Dx, Dy e Dz, basta substituir em:

$\sf x=\dfrac{D_x}{D}~~~,~~~y=\dfrac{D_y}{D}~~~,~~~z=\dfrac{D_z}{D}$

$\sf x=\dfrac{53}{-27~~}~~~,~~~y=\dfrac{-86~~}{-27~~}~~~,~~~z=\dfrac{-4~~}{-27~~}$

$\sf x=-\dfrac{53}{27}~~~,~~~y=\dfrac{86}{27}~~~,~~~z=\dfrac{4~~}{27}$

Não há como simplificar

ㅤ

Assim o conjunto solução deste sistema é:

$\large\begin{array}{l}\boxed{\boxed{\sf S=\Bigg\{\Bigg( - \dfrac{53}{27}~~,~~\dfrac{86}{27}~~,~~\dfrac{4}{27}\Bigg)\Bigg\}}}\end{array}$

ㅤ

Att. Nasgovaskov

▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬