Question

Resolva

$x^{2} - y^{2} = 10 x . y = 3$

Answer 1

Olá

Temos um sistema de equações

$\begin{cases}x^{2}-y^{2}=10\\ xy=3\\ \end{cases}$

Fatoremos a equação do termo superior

$(x+y)(x-y)=10$

Isole uma das incógnitas da equação do termo inferior

$x=\dfrac{3}{y}$

Substitua os valores da incógnita

$\left(\dfrac{3}{y}+y\right)\left(\dfrac{3}{y}-y\right)=10$

Simplifique as frações interiores aos parênteses

$\left(\dfrac{3+y^{2}}{y}\right)\left(\dfrac{3-y^{2}}{y}\right)=10$

Multiplique as frações

$\dfrac{9-y^{4}}{y^{2}}=10$

Simplifique a equação fracionária

$9-y^{4}=10y^{2}$

Mude a posição dos termos para somente um lado da equação, igualando-a a zero

$9-y^{4}-10y^{2}=0$

Reorganize os termos

$-y^{4}-10y^{2}+9=0$

Multiplique todos os termos por um fator (-1), a fim de simplificar

$y^{4}+10y^{2}-9=0$

Substitua os valores das incógnitas, a fim de tornar esta equação biquadrada uma equação do 2° grau

Para isto, digamos que $\boxed{z=y^{2}}$

$z^{2}+10z-9=0$

Simplifique a equação do 2° grau

Para isto, usemos a fórmula de Bháskara

Sabendo que $\Delta=b^{2}-4ac$

e que os coeficientes são:
$\begin{cases}a=1\\ b=10\\ c=-9\\ \end{cases}$

$z=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ z=\dfrac{-10\pm\sqrt{(10)^{2}-4\cdot1\cdot(-9)}}{2\cdot1}\\\\\\ z=\dfrac{-10\pm\sqrt{136}}{2}\\\\\\ z=\dfrac{-10\pm2\sqrt{34}}{2}$

Retire as raízes

$z_1=\dfrac{-10+2\sqrt{34}}{2}~~~~~z_2=\dfrac{-10-2\sqrt{34}}{2}\\\\\\ z_1=-5+\sqrt{34}~~~~~z_2=-5-\sqrt{34}$

Substituemos os valores na incógnita

$z=y^{2}~~~~~z=y^{2}\\\\\\ (-5+\sqrt{34})=y^{2}~~~~~(-5-\sqrt{34})=y^{2}\\\\\\ \sqrt{-5+\sqrt{34}}=y~~~~~\sqrt{-5-\sqrt{34}}=y$

Desconsideremos a raíz com radical negativo, já que raízes deste tipo não existem em números reais

$y=\sqrt{-5+\sqrt{34}}$

Simplifique o valor da incógnita

$y=\sqrt{-5+5,83}\\\\\\ y=\sqrt{0,83}\\\\\\ y=0,911566$

Substitua os valores na equação inferior

$x=\dfrac{3}{y}\\\\\\ x=\dfrac{3}{0,911566}\\\\\\ x=3,29104$

Comprovemos estes valores, substituindo os valores na equação superior

$x^{2}-y^{2}=10\\\\\\ (3,29104)^{2}-(0,911566)^{2}=10\\\\\\ 10,83-0,83=10\\\\\\ 10 = 10$

O valor das incógnitas que satisfazem este sistema são:
$\begin{cases}x=3,29104\\ y=0,911566\\ \end{cases}\\\\\\ \boxed{S=[(x,~y)\rightarrow(3,29104,~0,911566)~|~(x,~y)\in\mathbb{R}}$