Question

Resolva $x^2-e^x=0$ em ℝ.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação exponencial :

Dada a equação :

$\sf{ ~~~~~ \pink{ x^2 - e^{x}~=~ 0 } }$

$\iff \sf{ x^2~=~ e^x }$

Aplique logarítmos em ambos membros :

$\iff \sf{ \ln(x^2) ~=~ \ln(e^x) }$

$\iff \sf{ 2\ln(x) ~=~ x\ln(e) }$

$\iff \sf{ x~=~ 2\ln(x) }$

$\iff \sf{ \dfrac{ \ln(x) }{x} ~=~ \dfrac{1}{2} }$

$\iff \sf{ \dfrac{ \ln(x) }{ e^{\ln(x)} }~=~\dfrac{1}{2} }$

$\iff \sf{ \ln(x) * e^{-\ln(x)}~=~ \dfrac{1}{2} }$

Multiplicar toda a equação por -1 :

$\iff \sf{ -\ln(x) * e^{-\ln(x) }~=~ - \dfrac{1}{2} }$

Vamos aplicar a função W de Lambert :

$\sf{ Se~ x*e^x~=~ y }$, ao aplicar a função W de Lambert em ambos os membros da equação podemos ter :

$\sf{ \omega\left( x*e^x\right)~=\omega(y)} \to \boxed{\sf{x~=~\omega(y)}}$

Aplicação :

$\iff \sf{ \omega\left( -\ln(x) * e^{-\ln(x)}\right)~=~\omega\left( -\dfrac{1}{2}\right) }$

Então :

$\iff \sf{ -\ln(x)~=~ \omega\left( - \dfrac{1}{2}\right) }$ multiplicando tudo por -1 :

$\iff \sf{ \ln(x)~=~ -\omega\left( -\dfrac{1}{2}\right) }$

Aplicando a definição do logarítmo :

$\iff \sf{ x~=~e^{-\omega\left(-\frac{1}{2}\right)} }$

$\green{ \iff \boxed{ \sf{ x~=~\dfrac{1}{e^{\omega\left(-\frac{1}{2}\right)}} } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)