Question

resolva:

$\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{2x^2-18}{x^2-3x}$

​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

2x²-18=0

2x²=18

x²=9

x=±√9=±3

2x²-18=2(x-3)(x+3)

$\displaystyle\\\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{2x^2-18}{x^2-3x}=\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{2(x-3)(x+3)}{x(x-3)}=\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{2(x+3)}{x}=\frac{2(3+3)}{3} =4$

Answer 2

Resposta:

 $\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{2x^2-18}{x^2-3x}=4~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este limite, podemos usar a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite de uma função racional com  $x$ tendendo a  $c$  $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$ tal que  $f(x)$ e $g(x)$ são diferenciáveis e logo, contínuas em $c$.

 

Pela definição de continuidade, temos que  $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=L$, visto que  $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)}=L$.

 

Dividindo ambas as frações por  $x-c$, ficamos com  

$\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{\left(\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\right)}{\left(\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}\right)}=L$

 

Fazendo $x-c=\Delta{x}$, quando $\Delta{x}\rightarrow 0$, $x\rightarrow c$. Logo, podemos reescrever

$\dfrac{\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\left(\dfrac{f(x)-f(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}\right)}{\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\left(\dfrac{g(x)-g(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}\right)}=L$

Pela definição de derivada, $\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\left(\dfrac{f(x)-f(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}\right)=f'(x)$

 

Logo, afirmamos que  

$\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$

 

Utilizamos esta regra quando nos deparamos com indeterminações do tipo  $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Então, temos o seguinte limite:  $\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{2x^2-18}{x^2-3x}$

Lembre-se das propriedades de derivada:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, isto é: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é zero.

Aplicando a regra de l'Hôpital, temos:

$\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{2x^2-18}{x^2-3x}=\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{(2x^2-18)'}{(x^2-3x)'}$

A partir das regras discutidas acima, temos

$\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{(2x^2)'-(18)'}{(x^2)'-(3x)'}\\\\\\ \underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{2\cdot 2x}{2x-3}$

Multiplique os valores

$\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{4x}{2x-3}$

Como visto anteriormente, $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$, logo

$\underset{x\rightarrow~3}{\lim}~\dfrac{4x}{2x-3}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot3-3}$

 

Multiplique e some os valores

$\dfrac{12}{6-3}\\\\\\\ \dfrac{12}{3}$

Simplifique a fração

$4$

 

Este é o valor do limite que buscávamos.