Question

Resolva: $\tt\int\left( \frac{2}{x^{3}} +\frac{3}{x^{2} } +5 } \right)\cdot dx$

Answer 1

• O resultado dessa integral é -1/x² - 3/x + 5x + k.

Bom, para resolvermos sua integral, devemos primeiramente aplicar a seguinte propriedade:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int f(x) \pm g(x) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \end{aligned}$

• Aplicando na sua integral:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3} +\frac{3}{x^2}+5\right) dx = \int \frac{2}{x^3} dx + \int \frac{3}{x^2} dx + \int 5dx \end{aligned}$

• Agora, devemos aplicar a seguinte propriedade:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int a\cdot f(x) dx = a\cdot \int f(x) dx \end{aligned}$

• Aplicando essas propriedades de integração, temos que:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3} +\frac{3}{x^2}+5\right) dx = \int \frac{2}{x^3} dx + \int \frac{3}{x^2} dx + \int 5dx \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3} +\frac{3}{x^2}+5\right) dx = 2\cdot \int \frac{1}{x^3} dx + 3\cdot \int \frac{1}{x^2} dx + 5\cdot \int dx \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3} +\frac{3}{x^2}+5\right) dx = 2\cdot \int x^{-3}dx + 3\cdot \int x^{-2}dx + 5x \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3} +\frac{3}{x^2}+5\right) dx = 2\cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 3\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+ 5x + k \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3} +\frac{3}{x^2}+5\right) dx = 2\cdot \frac{x^{-2}}{-2} + 3\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+ 5x + k \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \left( \frac{2}{x^3} +\frac{3}{x^2}+5\right) dx = - \frac{\not{2}}{\not{2}x^2} -\frac{3}{x}+ 5x + k \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\therefore \boxed{\boxed{\green{ \int \left( \frac{2}{x^3} +\frac{3}{x^2}+5\right) dx = -\frac{1}{x^2} -\frac{3}{x}+ 5x + k}}} \end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Integrais indefinidas.

$\blue{\square}$ https://brainly.com.br/tarefa/32690385

Answer 2

✅ A primitiva da função $\rm f(x) = \tfrac{2}{x^{3}} +\tfrac{3}{x^{2} } +5$ é a função $\rm F(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} -\dfrac{3}{x } +5x + \mathbb{C}$.

 

⚠️ Mapa da resolução. Fique à vontade para ir para o breakpoint que você quiser:

• “✍️” - mão na massa. Se você quiser somente o cálculo;
• ❏ Tópicos da explicação;
• ⚠️ Atenção/importante!
• ✅ Resposta.

 

❏ O cálculo diferencial surge a partir do problema da reta tangente, já o cálculo integral advém do problema da área. Até certo tempo, essas duas entidades matemáticas não tinham ligação nenhuma. Isaac Barrow, mentor de Isaac Newton percebeu e estabeleceu uma conexão extremamente poderosa que une esses dois cálculos, o Teorema Fundamental do Cálculo.

 

❏ A integração e a derivação são processos inversos. O TFC, permite fazer a relação entre a diferenciação e a integração.

 

⚠️ Define-se por primitiva $\rm F$, ou antiderivada de uma função $f$ em um intervalo, se a derivada da primitiva for o mesmo da função $f$.

 

❏ Para clarear vamos explicar por meio de uma pergunta: Qual a função $\rm F$ que eu derivo e me dá a função $f$? Essa é a ideia.

 

❏ A partir disso, podemos encontrar uma notação e uma definição matemática para as primitivas:

$\begin{array}{lr}\underline{\boxed{\boxed{\rm \int f(x) dx = F(x) \quad \Leftrightarrow \quad F'(x) = f(x)}}} \end{array}$

 

✍️ Sabendo disso, vamos resolver!

 

❏ Qual a função $\rm F$ que eu derivo e me dá a função $f(x) = \dfrac{2}{x^{3}} +\dfrac{3}{x^{2} } +5$ ?

 

❏ Na notação de primitivas:

$\rm F(x) = \huge{\int}\large\left( \dfrac{2}{x^{3}} +\dfrac{3}{x^{2} } +5 \right)dx$

 

❏ Vamos usar as propriedades de integração para quebrar a integral indefinida.

$\large\begin{array}{lr}\rm F(x) = { \huge\int } \dfrac{2}{x^{3}} +{ \huge\int }\dfrac{3}{x^{2} } + { \huge\int } 5\\\\\rm F(x) = 2{ \huge\int } \dfrac{1}{x^3} + 3 { \huge\int } \dfrac{1}{x^2} + { \huge\int } 5\end{array}$

 

❏ A antiderivada de uma função do tipo $\rm f(x) = \dfrac{1}{x^n}$ pode ser obtida da seguinte lógica:

$\large\begin{array}{lr}\rm se \: \int x^n = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\; \: \forall x \neq -1{,} \: ent\tilde{a}o: \\\\\rm \int x^{-n} = \dfrac{x^{-n + 1}}{-n + 1} = \dfrac{1}{(-n+1)(x^{n-1})}=-\dfrac{1}{( n-1)(x^{n-1})}\; \: \forall x \neq 1{,}\end{array}$

 

❏ Dito isso:

$\large\begin{array}{lr}\rm F(x) = 2{ \huge\int } \dfrac{1}{x^3} + 3 { \huge\int } \dfrac{1}{x^2} + { \huge\int } 5 \Rightarrow\\\\\rm F(x) =- 2 \cdot \dfrac{1}{(3-1)(x^{3-1})} - 3\cdot\dfrac{1}{(2-1)(x^{2-1})} + 5x\Rightarrow\\\\\rm F(x) = - 2 \: \!\!\!\!\backslash \cdot \dfrac{1}{2 \: \!\!\!\!\backslash x^{2}} - 3\cdot\dfrac{1}{x} + 5x\Rightarrow \\\\ \rm \underline{ \boxed{ \therefore \: \rm F(x) = -\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x} + 5x}} \end{array}$

 

⚠️ Encontramos a primitiva da função, entretanto não generalizamos. Essa é apenas uma das funções que é primitiva de $f$. Geometricamente, essa função pode transladar o eixo Oy em infinitos pontos. Isso significa que existem infinitas funções que são primitivas da função que foi informada no enunciado. Então para contornar isso, podemos somar uma constante à primitiva.

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:F(x) = -\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x} + 5x + \mathbb{C} \:\:\vert \: \: \mathbb{C} \in \mathbb{R}}}}\end{array}$

 

❏ Veja que isso gera uma família de funções, Além de fazer sentido, pois a derivada de uma constante é zero, uma reta com inclinação zero.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre antiderivada/primitiva de uma função:

• https://brainly.com.br/tarefa/38409433
• https://brainly.com.br/tarefa/17239038

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$