Question

RESOLVA

$\lim_{x \to \ 0} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{2} }{x}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo do limite:

$\[\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}}{x} = \Big||\frac{0}{0}| \Big| \]$

• Para escapar desta indeterminação vamos manipular a expressão algebricamente.
• Racionalizar a expressão de tal maneira que haja algumas simplificações:

$\[\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{2} }{x}.\frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{2} }{\sqrt{x+2}+\sqrt{2} } \]$

$\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} \]$

• Temos pelas identidades notáveis:
• O produto da diferença pela Soma é igual a difença dos dois termos existentes em comum. Matématicamente:
• (a—b)(a+b)=a²—b² .
• Tendo em conta este critério vamos aplicar no nosso numerados:

$\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{2})^2}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} \]$

$\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+2-2}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} \]$

$\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} \]$

$\[\lim_{ x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2} } \]$

$\mathsf{=\frac{1}{\sqrt{0+2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}} }$

$\mathsf{=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} }$

$\boxed{\mathsf{ \[\lim_{ x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] }}}}$

Espero ter ajudado bastante!)

Answer 2

$\lim_{x \to \ 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}$

$\lim_{x \to \ 0}\frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{2}) }{x}. \frac{(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}$

$\lim_{x \to \ 0} \frac{{(\sqrt{x+2})}^{2}-{(\sqrt{2})}^{2}}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}$

$\lim_{x \to \ 0}\frac{x+2-2}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}$

$\lim_{x \to \ 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}$

$\lim_{x \to \ 0}\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}$

$\boxed{\lim_{x \to \ 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}}$