Question

Resolva
$\frac{5}{x+ 36} + \frac{1}{x-18} \ \textless \ 0$

(Imagem)

Escolha uma opção:

a.
x ∈ (9, 18) ou x ∈ (- ∞,−36)

b.
x ∈ ( - ∞, 9)

c.
x ∈ (-∞ , −36)

d.
x ∈ (−36, 18)

e.
Nenhuma destas alternativas.

Answer 1

Resposta:

x ∈ ( - ∞ ; - 36 )      ou     x ∈   ( 9 ; 18  )       logo a )

( ver gráfico em anexo )

Explicação passo a passo:  

$\dfrac{5}{x+36} +\dfrac{1}{x-18} < 0$

Observação 1 →  Soma ou subtração de frações

Só é possível quando os denominadores forem iguais.

Nesse caso, somam-se ( ou subtraem-se) os numeradores e mantém -se os

denominadores ( que são iguais )

1 ª Etapa

No primeiro membro transformar duas frações numa só.

Como os denominadores são diferentes, vamos multiplicar , numerador e

denominador da 1ª fração , por " x - 18 "

Como os denominadores são diferentes, vamos multiplicar , numerador e

denominador da 2ª fração , por " x + 36 "

$\dfrac{5*(x-18)}{(x+36)*(x-18)} +\dfrac{1*(x+36)}{(x-18)*(x+36)} < 0$

$\dfrac{5x-90}{(x+36)*(x-18)} +\dfrac{x+36}{(x-18)*(x+36)} < 0$

$\dfrac{5x-90+x+36}{(x+36)*(x-18)} < 0$

$\dfrac{(6x-54)}{(x+36)*(x-18)} < 0$

2ª Etapa - Calcular os zeros das diferentes parcelas

6x - 54 = 0

6x = 54

6x/6 = 54/6

x = 9

x + 36 = 0

x = - 36

x - 18 = 0

x = 18

3ª Etapa - Construir tabela para análise do sinal

                               

        x                           | - ∞          - 36                  9               18         + ∞

--------------------------------|----------------|------------------|----------------|------------

6x - 54                         |         -         |         -          0       +         |     +

--------------------------------|----------------|------------------|----------------|------------

x + 36                           |        -        0        +           |        +        |     +

------------------------ -------|----------------|------------------|----------------|------------

x - 18                            |         -        |          -          |          -       0     +

-------------------------------|----------------|------------------|----------------|------------

$\dfrac{(6x-54)}{(x+36)*(x-18)}$       |    menos   |       mais      |   menos    |   mais  

                                           < 0                                   < 0

O modo de encontrar estes sinais pode ser obtido de várias maneiras.

O que faço aqui é escolher um número à esquerda e  à direita do zero de cada parcela

6x - 54

se x = 8  ⇒  6 * 8 - 54 = 48 - 54 = - 6    fica ( - )

se x = 10 ⇒ 6 * 10 - 54 = 60 - 54 = + 6  fica ( + )

O mesmo para as outras parcelas

Para encontrar estes sinais    |    menos   |       mais      |   menos    |   mais  

oque se faz é uma multiplicação de sinais em cada vertical.

Primeira coluna  ( - ) * ( - ) * ( - ) = ( + ) * ( - ) = ( - )   logo  < 0

Segunda coluna   ( - ) * ( + ) * ( - ) = ( - ) * ( - ) = ( + )  logo > 0

Terceira coluna   ( + ) * ( + ) * ( - ) = ( + ) * ( - ) = ( - )   logo < 0

Quarta coluna       ( + ) * ( + ) * ( + ) = ( + )   logo > 0

4 ª Etapa - Conclusão      

$\dfrac{(6x-54)}{(x+36)*(x-18)} < 0$

 É verdadeiro quando :    

x ∈ ( - ∞ ; - 36 )      ou     x ∈   ( 9 ; 18  )       logo a )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    ( / ) divisão      ( > ) maior do que

Nota → Em minhas resoluções de tarefas eu coloco muita informação,  

em termos de regras.

E, detalhando os passos que são dados, de modo que o usuário  

possa perceber o que está a ser feito e utilizá-lo em futuros exercícios.