Question

Resolva:

$\displaystyle{\int_{-\inf}^{\inf} \dfrac{\sin(x)}{x}\,dx}$
​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\pi}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

$I=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx}$

Veja que esta é uma integral simétrica. Podemos separá-la como:

$I=\displaystyle{\int_{-\infty}^{0}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx+\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx}$

Porém, a função da primeira integral, que está definida em limites de integração negativos, é par. Veja que ao fazermos: $x\rightarrow -x$, teríamos a mesma integral. Dessa forma:

$I=\displaystyle{2\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx}$

Então, definimos esta integral em relação a um parâmetro $b$. Multiplique o integrando por $e^{-bx}$.

$I(b)=\displaystyle{2\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin(x)\cdot e^{-bx}}{x}\,dx}$

Observe que o valor que buscamos é $I(0)$.

Então, aplicamos a regra de Leibniz: $\displaystyle{\dfrac{d}{dx}\int f(x,~y)\,dy=\int\dfrac{\partial}{\partial x}~f(x,~y)\,dy}$, dado que a função definida por duas variáveis é contínua nos limites de integração.

$\dfrac{d}{db}(I(b))=\displaystyle{\dfrac{d}{db}\left(2\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin(x)\cdot e^{-bx}}{x}\,dx\right)}$

Aplique a regra

$I'(b)=\displaystyle{2\int_{0}^{\infty}{\dfrac{\partial}{\partial b}\left(\dfrac{\sin(x)\cdot e^{-bx}}{x}\right)\,dx}$

Calcule a derivada parcial, utilizando a regra da cadeia

$I'(b)=\displaystyle{2\int_{0}^{\infty}\dfrac{(-x)\cdot\sin(x)\cdot e^{-bx}}{x}\,dx}\\\\\\I'(b)=\displaystyle{2\int_{0}^{\infty}-\sin(x)\cdot e^{-bx}\,dx$

Então, calculamos a integral utilizando a técnica de integração por partes:  $\displaystyle{\int u\,dx=uv-\int v\,du}$.

Como critério de escolha para o $u$, temos a propriedade LIATE, que consiste em uma fila de prioridade de funções: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais.

Assim, $u=-\sin(x)$ e $dv=e^{-bx}\,dx$. Diferenciamos a expressão em $u$ e calculamos a integral de $dv$:

$u'=(-\sin(x))'\\\\\\ du=-\cos(x)\,dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{-bx}\,dx}\\\\\\ v=-\dfrac{e^{-bx}}{b}$

Nossa integral se torna:

$I'(b)=\displaystyle{2\cdot\left(-\sin(x)\cdot\left(-\dfrac{e^{-bx}}{b}\right)-\int -\dfrac{e^{-bx}}{b}\cdot -\cos(x)\,dx\right)}~\biggr|_0^{\infty}$

Multiplique os valores e calcule a segunda integral utilizando novamente a técnica de integração por partes

$I'(b)=\displaystyle{2\cdot\left(\dfrac{\sin(x)\cdot e^{-bx}}{b}-\left(\cos(x)\cdot\left(-\dfrac{e^{-bx}}{b^2}\right)-\int-\dfrac{e^{-bx}}{b^2}\cdot(-\sin(x)\,dx)\right)\right)~\biggr|_0^{\infty}$

Observe que a integral que temos pode ser reescrita como:

$I'(b)=\displaystyle{2\cdot\left(\dfrac{\sin(x)\cdot e^{-bx}}{b}-\cos(x)\cdot\left(-\dfrac{e^{-bx}}{b^2}\right)+\dfrac{1}{b^2}\cdot \left(-\dfrac{I'(b)}{2}\right)\right)~\biggr|_0^{\infty}$

Logo, efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$I'(b)=\dfrac{2\sin(x)\cdot e^{-bx}}{b}+\dfrac{2\cos(x)e^{-bx}}{b^2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\cdot I'(b)~\biggr|_0^{\infty}$

Some $\dfrac{1}{b^2}\cdot I'(b)$ em ambos os lados da equação

$\dfrac{b^2+1}{b^2}\cdot I'(b)=\dfrac{2\sin(x)\cdot e^{-bx}}{b}+\dfrac{2\cos(x)e^{-bx}}{b^2}\right)~\biggr|_0^{\infty}$

Divida ambos os lados da equação por $\dfrac{b^2+1}{b^2}$

$I'(b)=\dfrac{2b\sin(x)\cdot e^{-bx}+2\cos(x)e^{-bx}}{b^2+1}\right)~\biggr|_0^{\infty}$

Aplicando os limites de integração de acordo com o princípio fundamental do cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, temos

$I'(b)=-\dfrac{2}{b^2+1}$

Integre ambos os lados em respeito à $b$

$\displaystyle{\int I'(b)\,db=-\int\dfrac{2}{b^2+1}\,db$

Sabendo que $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot \int f(x)\,dx$ e $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)+C$, temos

$I(b)=-2\arctan(b)+C$

Veja que ao calcularmos o limite quando $b\rightarrow \infty$, isto é, a função exponencial no integrando decresce muito rapidamente, $I(b)=0$, logo

$0=\underset{b\rightarrow\infty}\lim-2\arctan(b)+C$

Sabendo que $\arctan(\infty)=\dfrac{\pi}{2}$ e $\underset{x\rightarrow c}\lim~a\cdot f(x)=a\cdot\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)$, temos

$0=-\pi+C$

Some $\pi$ em ambos os lados da equação

$C=\pi$

Então, lembre-se que ao início, buscávamos o valor de $I(0)$, assim teremos:

$I(0)=-2\arctan(0)+\pi$

Sabendo que $\arctan(0)=0$, finalmente temos:

$I(0)=\pi$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

Resposta:

OLÁ

VAMOS A SUA PERGUNTA:⇒⇒

$\sf \large\begin{array}{l} \sf \sf\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty} \sf \dfrac{sin(x)}{x}~dx \end{array}$

$\sf \sf = \displaystyle\int^{0}_{-\infty} \sf \dfrac{sin(x)}{x}~dx+\displaystyle\int^{\infty}_{0}\dfrac{sin(x)}{x}~dx$

$\sf \sf = \displaystyle\int^{0}_{-\infty} \sf \dfrac{sin(x)}{x}~dx=si(0)+\dfrac{\pi}{2}$

$\sf \sf = si(0)+\dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int^{\infty}_{0} \sf \dfrac{sin(x)}{x}~dx$

$\sf \sf = \displaystyle\int^{0}_{-\infty} \sf \dfrac{sin(x)}{x}~dx=\dfrac{\pi}{2}-si(0)$

$\sf =si(0)+\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{2} -si(0)$

$\sf =si(0)+\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{\pi}{2} -si(0)=\pi$

$\boxed{\bold{\displaystyle{\clubsuit\ \spadesuit\ \maltese\ \sf \red{=\pi}}}}\ \checkmark$← RESPOSTA.

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Explicação passo-a-passo:

ESPERO TER AJUDADO .^.