Question

Resolva:

${9}^{x} x = {x}^{x}$

#Cálculo e explicação

Answer 1

$9^{x}\cdot x=x^{x}$

Para $x=0~\longrightarrow~9^{0}\cdot0=0^{0}~\longrightarrow~0=0^{0}$

Mas $0^{0}$ é uma indeterminação, então $x\ne0$

Como $x\ne0$, podemos dividir os dois lados dessa equação por $x$, obtendo:

$\dfrac{9^{x}\cdot x}{x}=\dfrac{x^{x}}{x}~\longrightarrow~9^{x}=x^{x-1}$

Mas, $9=3^2$. Substituindo:

$(3^2)^{x}=x^{x-1}~\longrightarrow~3^{2x}=x^{x-1}$

Assim, $x$ é uma potência de $3$. Digamos $x=3^{n}$. Substituindo:

$3^{2\cdot3^{n}}=(3^{n})^{3^{n}-1}~\longrightarrow~3^{2\cdot3^{n}}=3^{n\cdot3^{n}-n}$

Igualando os expoentes:

$2\cdot3^{n}=n\cdot3^{n}-n$

Isolando $3^{n}$:

$n\cdot3^{n}-2\cdot3^{n}=n~\longrightarrow~3^{n}\cdot(n-2)=n~\longrightarrow~3^{n}=\dfrac{n}{n-2}$

A imagem de uma função exponencial $f(x)=a^{x}$ é sempre positiva.

Logo, $3^{n}>0$ e, por consequência, devemos ter $\dfrac{n}{n-2}>0$. Essa última desigualdade ocorre em dois casos:

$\bullet~~\text{numerador}>0~~~~~~\text{denominador}>0$

Isto é, $n>0$ e $n-2>0~\longrightarrow~n>2$, ou seja, $n>2$

$\bullet~~\text{numerador}<0~~~~~\text{denominador}<0$:

$n<0$ e $n-2<0~\longrightarrow~n<2$, isto é, $n<0$

Temos dois casos:

$\star~~n>2$

Para $n>2$, temos que $3^{n}$ é crescente, pois $3^{3}>3^{2}$

Note que $\dfrac{n}{n-2}=\dfrac{n}{n-2}+\dfrac{2-2}{n-2}=\dfrac{n-2}{n-2}+\dfrac{2}{n-2}=1+\dfrac{2}{n-2}$

Deste modo, para $n>2$, temos que $\dfrac{n}{n-2}$ é decrescente, pois à medida que $n$ cresce, o denominador de $\dfrac{2}{n-2}$ aumenta, reduzindo o valor dessa fração, e por consequência, reduzindo o valor de $\dfrac{n}{n-2}$.

Para $n=3~\longrightarrow\begin{cases}3^{n}=3^{3}~\longrightarrow~3^{n}=27\\\dfrac{n}{n-2}=\dfrac{3}{3-2}~\longrightarrow~\dfrac{n}{n-2}=3\end{cases}$

Ou seja, $3^{n}>\dfrac{n}{n-2}$ e como $3^{n}$ é crescente e $\dfrac{n}{n-2}$ é decrescente, podemos afirmar que a diferença $3^{n}-\dfrac{n}{n-2}$ só aumentará para $n>2$

Logo, não há solução se $n>2$

$\star~~n<0$

Analogamente, para $n<0$ temos que $3^{n}$ é decrescente e $\dfrac{n}{n-2}$ é crescente.

Para $n=-1~\longrightarrow\begin{cases}3^{n}=3^{-1}~\longrightarrow~3^{n}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{n}{n-2}=\dfrac{-1}{-1-2}~\longrightarrow~\dfrac{n}{n-2}=\dfrac{1}{3}\end{cases}$

Assim, $n=-1$ é uma solução.

Para $n=-2~\longrightarrow\begin{cases}3^{n}=3^{-2}~\longrightarrow~3^{n}=\dfrac{1}{9}\\\dfrac{n}{n-2}=\dfrac{-2}{-2-2}~\longrightarrow~\dfrac{n}{n-2}=\dfrac{1}{2}\end{cases}$

Isto é, $\dfrac{n}{n-2}>3^{n}$ e como $\dfrac{n}{n-2}$ é crescente e $3^{n}$ é decrescente para $n<0$, não há solução se $n<-1$

Portanto, $n=-1$

Como $x=3^{n}$, então $x=3^{-1}$, ou seja, $x=\dfrac{1}{3}$

$\text{S}=\left\{\dfrac{1}{3}\right\}$