Question

Resolva:

$3 ({ \frac{1}{x} })^{2x} \times \sqrt{x} = 4x + 2$


#Cálculo e explicação

Answer 1

$\mathsf{3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2x}\cdot\sqrt{x}=4x+2}$

$\mathsf{3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=4x+2}$

Para $\mathsf{x=0~\longrightarrow~3\cdot\left(\dfrac{1}{0}\right)^{2\cdot0}\cdot0^{\frac{1}{2}}=4\cdot0+2}$

Obtemos uma divisão por zero elevada a zero, mais indeterminado que isso impossível. 

Assim, $\mathsf{x\ne0}$. Como $\mathsf{x\ne0}$, podemos dividir os dois lados dessa equação por $\mathsf{x}$.

$\mathsf{\dfrac{3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2x}\cdot x^{\frac{1}{2}}}{x}=\dfrac{4x}{x}+\dfrac{2}{x}~\longrightarrow~3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2x}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=4+2\cdot\dfrac{1}{x}}$

$\mathsf{3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2x}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=4+2\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)~\longrightarrow~3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2x}\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}=4+2\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)}$

Seja $\mathsf{y=\dfrac{1}{x}}$

Assim, $\mathsf{x=\dfrac{1}{y}}$ e $\mathsf{2x=\dfrac{2}{y}}$

$\mathsf{3\cdot y^{\frac{2}{y}}\cdot y^{\frac{1}{2}}=4+2y}$

$\mathsf{y^{\frac{2}{y}+\frac{1}{2}}=\dfrac{2y+4}{3}}$

$\mathsf{y^{\frac{y+4}{2y}}=\dfrac{2y+4}{3}}$

A imagem de uma função exponencial é sempre positiva.

Desse modo, devemos ter:

$\mathsf{\dfrac{2y+4}{3}>0~\longrightarrow~2y+4>0~\longrightarrow~2y>-4~\longrightarrow~y>-2}$

Mas, $\mathsf{y}$ é a base de uma função exponencial, então $\mathsf{y>0}$

Por outro lado, $\mathsf{x=\dfrac{1}{y}}$, logo $\mathsf{0<x<1}$

$\mathsf{3\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2x}\cdot\sqrt{x}=4x+2}$

$\mathsf{3\cdot(x^{-1})^{2x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=2\cdot(2x+1)}$

$\mathsf{3\cdot x^{-2x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=2\cdot(2x+1)}$

Note que o segundo membro é divisível por $\mathsf{2}$. Como $\mathsf{3\nmid2}$, então $\mathsf{x^{-2x}\mid2}$ ou $\mathsf{x^{\frac{1}{2}}\mid2}$

Desse modo, $\mathsf{x}$ é uma potência de $\mathsf{2}$ menor que $\mathsf{1~~(\text{pois}~0<x<1)}$, ou seja, $\mathsf{x=2^{k}}$, tal que $\mathsf{0<2^{k}<1}$. Assim, devemos ter $\mathsf{k<0}$

Como $\mathsf{y=\dfrac{1}{x}}$, segue que $\mathsf{y=\dfrac{1}{2^{k}}=2^{-k}}$

$\mathsf{\bullet~~k=-1~\longrightarrow~y=2^1~\longrightarrow~y=2}$

$\mathsf{y^{\frac{y+4}{2y}}=\dfrac{2y+4}{3}~\longrightarrow~2^{\frac{2+4}{4}}=\dfrac{4+4}{3}~\longrightarrow~2^{\frac{3}{2}}=\dfrac{8}{3}}$. Que não é verdade, então $\mathsf{k\ne-1}$

$\mathsf{\bullet~~k=-2~\longrightarrow~y=2^2~\longrightarrow~y=4}$

$\mathsf{y^{\frac{y+4}{2y}}=\dfrac{2y+4}{3}~\longrightarrow~4^{\frac{4+4}{8}}=\dfrac{8+4}{3}~\longrightarrow~4^1=4}$

Assim, $\mathsf{k=-2}$ é uma solução.

$\mathsf{\bullet~~k=-3~\longrightarrow~y=2^3~\longrightarrow~y=8}$

$\mathsf{y^{\frac{y+4}{2y}}=\dfrac{2y+4}{3}~\longrightarrow~8^{\frac{8+4}{16}}=\dfrac{16+4}{3}~\longrightarrow~8^{\frac{3}{4}}=\dfrac{20}{3}}$. Falso.


$\mathsf{\bullet~~k=-4~\longrightarrow~y=2^4~\longrightarrow~y=16}$
$\mathsf{y^{\frac{y+4}{2y}}=\dfrac{2y+4}{3}~\longrightarrow~16^{\frac{16+4}{32}}=\dfrac{32+4}{3}~\longrightarrow~16^{\frac{5}{8}}=12}$. Falso

Note que $\mathsf{\dfrac{2y+4}{3}}$ cresce muito mais rápido que $\mathsf{y^{\frac{y+4}{2y}}}$, de modo que a diferença $\mathsf{\dfrac{2y+4}{3}-y^{\frac{y+4}{2y}}}$ só aumenta quando $\mathsf{y}$ cresce (veja os gráficos na imagem em anexo).

Assim, não há solução para $\mathsf{k<-2}$

Portanto, $\mathsf{k=-2}$. Como $\mathsf{x=2^{k}}$, concluímos que $\mathsf{x=2^{-2}}$, isto é $\mathsf{\boxed{x=\dfrac{1}{4}}}$

Answer 2

Encontrar um valor de x que satisfaça a equação:

$\mathsf{3(\frac{1}{x})^x*\sqrt{x}=4x+2}$

x deve ser positivo devido aos termos $\mathsf{\sqrt{x}\ e\ \frac{1}{x}}$

Vamos tentar facilitar o máximo essa expressão, juntando os termos semelhantes e estabelecendo relações notáveis:

$\mathsf{3(\frac{1}{x})^{2x+1-1}*\sqrt{x}=2*(2x+1)}\\\\\mathsf{3(\frac{1}{x})^{2x+1}*(\frac{1}{x})^{-1}*\sqrt{x}=2*(2x+1)}\\\\\mathsf{3(\frac{1}{x})^{2x+1}*x\sqrt{x}=2(2x+1)}$

Vamos agrupar determinados termos semelhantes para facilitar as contas.
Seja: $\boxed{y=2x+1}$

$\mathsf{\frac{3}{2}(\frac{1}{x})^y*x\sqrt{x}=y}\\\\\mathsf{\frac{3}{2}(\frac{1}{x})^y*x^{\frac{3}{2}}=y}$

Seja: $\boxed{z=\frac{3}{2}}$

$\mathsf{zx^{-y}*x^z=y}\\\\\mathsf{zx^z=yx^y}$

Veja que surgiu uma interessante relação: A igualdade sempre se mantém verdadeira para y = z. Assim temos:

$\mathsf{y=z}\\\\\mathsf{2x+1=\frac{3}{2}}\\\\\mathsf{2x=\frac{1}{2}}\\\\\boxed{x=\frac{1}{4}}$

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