Resolva: TEORIA DOS NÚMEROS
para quais inteiros m e n positivos?
Soluções para a tarefa
Olá,
primeiramente, vamos assumir, sem perda de generalidade, que m ≥ n. Denote por d = mdc(m, n). Então, seja m = a.d e n = b.d, assim, segue que
(a, b) = 1 e a ≥ b. Substituindo, temos
(ad)^n = (bd) ^m. Since m ≥ n, it follows that a^n = (b^m).d^(m−n ).
A chave está aqui. Segue que (b ^m)|(a^n) , e qualquer número primo divide b pode dividir a, entretanto, (a, b) = 1, então não existem primos que dividem b. Logo, b = 1. Agora, temos a^n = n ^(an−n) .
Como n^(an−n) = n ^((a−1) ^n), ambos os lados são potências de n . Desse modo,
a = n ^(a−1) .
Segue pela desigualdade de Bernoulli que reduzimos aos seguintes caso:
• a = 1. Then 1 = n ^0
Isto corresponde a m=n.
• a = 2. então 2 = n ^1
o que implica (m, n) = (4, 2).
• n = 1. Então a = 1 ^(a−1)
O que implica (m, n) = (1, 1).
• n ≥ 2 and a ≥ 3.
A desigualdade de Bernoulli’s implica que x = n − 1 e r = a − 1. Isto significa que x ≥ 1 e r ≥ 2, desde que a = 1, 2 e n = 1. Aplicando um versão estrita de Bernoulli temos
n ^(a−1) > 1 + (a − 1)(n − 1) = 2 − a − n + an
Isso mostra que a ≥ 3 e n ≥ 2, temos 2 − a − n + an ≥ a. O que é verdade desde que subtraindo ambos os lados obtemos (a − 1)(n − 2) ≥ 0 ( o que é verdadeiro para a ≥ 3 e n ≥ 2)
Então n ^(a−1) > a , resultando na não existência de soluções nesse caso.
Portanto, (m, n) = (2, 4),(4, 2),(k, k) para todo k natural, são soluções do problema.
Bons estudos
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Os pares (m, n) = (2, 4),(4, 2),(k, k) para todo k natural, resolvem o problema em questão.