Resolva, também, um desafio semelhante chamando os números de x e 2x + 1, mas ultilizando o quadrado perfeito particular (2x-3)² que conclusões podemos tirar?
Soluções para a tarefa
Os números procurados são 3/13 e 19/13; Os números procurados são 8/17 e 33/17.
Completando a questão:
''Determine dois números tais que, cada um somado com o quadrado do outro, forneça um quadrado perfeito.'' Como Diofanto tentava sempre escrever os problemas usando apenas uma incógnita, em vez de chamar os números de x e y, chamou-os de x e 2x + 1 e escolhe um quadrado perfeito particular (2x - 2)².
A) Experimente resolver o problema seguindo a sugestão de Diofanto e descubra os números procurados.
B) Resolva, também, um desafio semelhante chamando os números de x e 2x + 1, mas utilizando o quadrado perfeito particular (2x-3)². Que conclusão podemos tirar?
Solução
a) Observe que 2x + 1 + x² é o quadrado perfeito (x + 1)².
Então, temos que resolver a equação x + (2x + 1)² = (2x - 2)².
Utilizando o quadrado da soma, obtemos:
x + 4x² + 4x + 1 = 4x² - 8x + 4
5x + 1 = -8x + 4
13x = 3
x = 3/13.
Logo, o outro número é:
2.3/13 + 1 = 6/13 + 1 = 19/13.
b) Agora, vamos resolver a equação x + (2x + 1)² = (2x - 3)².
Então:
x + 4x² + 4x + 1 = 4x² - 12x + 9
5x + 1 = -12x + 9
17x = 8
x = 8/17.
Logo, o outro número é:
2.8/17 + 1 = 16/17 + 1 = 33/17.
A conclusão que podemos tirar é que podemos escolher as expressões semelhantes a (2x - 2)² e, assim, obter outras soluções que satisfazem o enunciado.