Question

Resolva, se possível a equação diofantina linear 25x − 9y = 1.

Answer 1

Resposta:

O conjunto solução da equação é S = {(4 - 9k, 11 - 25k)}, k ∈ ℤ.

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Explicação passo a passo:

Resolver a equação diofantina linear de duas variáveis:

$25x-9y=1$

Como equações diofantinas do tipo $ax+by=c$ podem admitir infinitas soluções, é praticamente impossível listar todas elas. Então, queremos resolver a equação e encontrar uma solução geral/genérica que nos aborda todas as possíveis soluções inteiras.

Mas inicialmente é necessário verificar se de fato a equação pode admitir soluções. Para tal, o máximo divisor comum entre os módulos dos coeficientes $a$ e $b$ deve ser divisor do termo independente $c$. Ou seja:

$mdc(|a|,|b|)\mid c\iff Existe~soluc_{_{\!\!\!\!\,s}}\tilde{a}o.$

$\therefore~mdc(|25|,|\!-9|)=mdc(25,9)=1~\therefore~1\mid 1$

Então sabemos que a equação tem solução pois mdc é igual a 1 e ele divide o termo independente $c=1$.

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A norma que denota as soluções $(x,y)$ a partir de uma única solução particular $Sp=(x_p,y_p)$ é

$S=\begin{cases}~x=x_p+bk\\~y=y_p-ak\end{cases},\forall k\in\mathbb{Z}$

, onde $k$ é um parâmetro inteiro. Para achar esse par ordenado $Sp$, podemos tentar alguns chutes atribuindo valores às variáveis ou então denotar o $mdc(25,9)$ como uma combinação linear dos coeficientes. Escrevendo-o como uma combinação linear, observe que:

$\begin{array}{l}mdc(25,9)=1=100-99\\\\\qquad\qquad\qquad~=25\cdot 4-9\cdot 11\\\\\qquad\qquad\qquad~\therefore~x_p=4~e~y_p=11\end{array}$

Logo $(4,11)$ é uma das soluções da equação. Substituindo todos os dados na fórmula:

$S=\begin{cases}~x=4-9k\\~y=11-25k\end{cases}$

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Deveras, esta é uma solução verdade pois atribuindo valores a $k$ são formados pares ordenados $(x,y)$ que satisfazem a equação.

Portanto, o conjunto solução é:

$\boldsymbol{\blue{S=\big\{(4-9k,11-25k)\big\},k\in\mathbb{Z}}}$