Question

Resolva por indução a relação abaixo:

Answer 1

Começamos por mostrar que a proposição é válida para $n = 2$. Do lado esquerdo, tem-se:

$\left(1-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2},$

o que corresponde claramente ao lado direito.

Admitindo agora a propriedade para $n$, vamos provar que é válida para $n+1$. Fazendo $n \to n+1$, o lado esquerdo pode ser escrito na forma:

$\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\dots \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right).$

Admitindo que a propriedade é válida, temos:

$\underbrace{\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\dots \left(1-\dfrac{1}{n}\right)}_{=\frac{1}{n}}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right) = \dfrac{1}{n} \times \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right).$

Podemos agora escrever:

$\dfrac{1}{n}\times\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right) = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{n+ \not 1 - \not 1}{n+1} = \dfrac{1}{\not n} \times \dfrac{\not n}{n+1} = \dfrac{1}{n+1},$

que corresponde ao lado direito da equação para $n \to n+1$. Fica então provada a hereditariedade da propriedade.

Por indução, fica provado que:

$\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\dots \left(1-\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n}, \quad \textrm{para } n \geq 2.$