Question

Resolva por escalonamento
x – 2y + z = 7
2x - y + 4z = 17
3x – 2y +2z = 14

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que o valor $\textstyle \sf \sf S:(x, y, z )= \left( 2, -\:1, 3 \right)$.

Método da Eliminação de Gauss ou Escalonamento consiste em transformar o sistema linear original  em outra equivalente, transformando a matriz estendida do sistema em uma matriz triangular.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf x -2y +z = 7 \\ \sf 2x - y +4z = 17 \\ \sf 3x -2y +2z = 14 \end{cases} } }$

Multiplicar por -2 a primeira equação e subtraia esse resultado da segunda equação obtemos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf x -2y +z = 7 \\ \sf \quad \:\:3 y +2z = 3 \\ \sf 3x -2y +2z = 14 \end{cases} } }$

Multiplicar por -3 a primeira equação e subtraindo da terceira equação, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf x -2y +z = 7 \\ \sf \quad \:\: 3 y +2z = 3 \\ \sf \quad \:\:4y -z = -7 \end{cases} } }$

Multiplicar  por - 4/3 a segunda equação e subtrairmos deste resultado a terceira equação, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf x -2y +z = 7 \\ \sf \quad \:\: 3 y +2z = 3 \\ \sf \quad \quad - \dfrac{11}{3} z = -11 \end{cases} } }$

Para o valores das variáveis basta fazer as substituições nas equações.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ -\: \dfrac{11z}{3} = -\:11 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ z = -\backslash\!\!\!{ 1} \backslash\!\!\!{1} \cdot \left(- \dfrac{3}{ \backslash\!\!\!{ 1} \backslash\!\!\!{1} } \right) } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf z = 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3y + 2z = 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3y +2\cdot 3 = 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3y = 3 - 6 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = -\: \dfrac{3}{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = -\:1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x -2y +z = 7 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x -2 \cdot (-1) +3 = 7 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x +2 = 7 -3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 4 - 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ S:(x, y, z )= \left( 2, -\:1, 3 \right) }$

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