Question

Resolva por cramer os sistemas lineares a seguir:-.:

{3×-y-z=1
{x+z=-2
{-2×+y-z=3​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\left \{ {{3x-y-z=1} \atop {x+z=-2}} \atop {-2x+y-z=3}\right.$

Para resolvermos este sistema linear 3 × 3, vamos utilizar as seguintes fórmulas para calcularmos o x, y e z.

    $x=\frac{Dx}{D}$  $;$  $y=\frac{Dy}{D}$  $;$  $z=\frac{Dz}{D}$

Agora temos que calcular os determinantes D, Dx, Dy e Dz.

Cálculo do determinante D

Para calcularmos o D (determinante), devemos formar uma matriz de ordem 3 com os coeficientes de x, y e z das três equações.

    $D=\left[\begin{array}{ccc}3&-1&-1\\1&0&1\\-2&1&-1\end{array}\right]$

Vamos usar a regra de Sarrus.

Repita as duas primeiras colunas da matriz à sua direita.

    $D=\left[\begin{array}{ccc}3&-1&-1\\1&0&1\\-2&1&-1\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}3&-1\\1&0\\-2&1\end{array}\right]$

Agora vamos calcular as diagonais principal e secundária

  Diagonal Principal

  3 · 0 · (-1) + (-1) · 1 · (-2) + (-1) · 1 · 1 = 0 + 2 - 1 = 1

  Diagonal Secundária

  -1 · 0 · (-2) + 3 · 1 · 1 + (-1) · 1 · (-1) = 0 + 3 + 1 = 4

Então, o determinante será a subtração da diagonal principal pela diagonal secundária.

    D = 1 - 4  →  D = -3

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Cálculo do determinante Dx

Para calcularmos o Dx (determinante de x), devemos eliminar a coluna dos coeficientes de x (3, 1 e -2) da matriz do determinante e substituir pelos termos independentes (1, -2 e 3).

    $Dx=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\-2&0&1\\3&1&-1\end{array}\right]$

Repita as duas primeiras colunas da matriz à sua direita.

    $Dx=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\-2&0&1\\3&1&-1\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}1&-1\\-2&0\\3&1\end{array}\right]$

  Diagonal Principal

  1 · 0 · (-1) + (-1) · 1 · 3 + (-1) · (-2) · 1 = 0 - 3 + 2 = -1

  Diagonal Secundária

  -1 · 0 · 3 + 1 · 1 · 1 + (-1) · (-2) · (-1) = 0 + 1 - 2 = -1

Então, o determinante de x será a subtração da diagonal principal pela diagonal secundária.

    Dx = -1 - (-1)  →  Dx = -1 + 1  →  Dx = 0

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Cálculo do determinante Dy

Para calcularmos o Dy (determinante de y), devemos eliminar a coluna dos coeficientes de y (-1, 0 e 1) da matriz do determinante e substituir pelos termos independentes (1, -2 e 3).

    $Dy=\left[\begin{array}{ccc}3&1&-1\\1&-2&1\\-2&3&-1\end{array}\right]$

Repita as duas primeiras colunas da matriz à sua direita.

    $Dy=\left[\begin{array}{ccc}3&1&-1\\1&-2&1\\-2&3&-1\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}3&1\\1&-2\\-2&3\end{array}\right]$

  Diagonal Principal

  3 · (-2) · (-1) + 1 · 1 · (-2) + (-1) · 1 · 3 = 6 - 2 - 3 = 1

  Diagonal Secundária

  -1 · (-2) · (-2) + 3 · 1 · 3 + 1 · 1 · (-1) = -4 + 9 - 1 = 4

Então, o determinante de y será a subtração da diagonal principal pela diagonal secundária.

    Dy = 1 - 4  →  Dy = -3

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Cálculo do determinante Dz

Para calcularmos o Dz (determinante de z), devemos eliminar a coluna dos coeficientes de z (-1, 1 e -1) da matriz do determinante e substituir pelos termos independentes (1, -2 e 3).

    $Dz=\left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\1&0&-2\\-2&1&3\end{array}\right]$

Repita as duas primeiras colunas da matriz à sua direita.

    $Dz=\left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\1&0&-2\\-2&1&3\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}3&-1\\1&0\\-2&1\end{array}\right]$

  Diagonal Principal

  3 · 0 · 3 + (-1) · (-2) · (-2) + 1 · 1 · 1 = 0 - 4 + 1 = -3

  Diagonal Secundária

  1 · 0 · (-2) + 3 · (-2) · 1 + (-1) · 1 · 3 = 0 - 6 - 3 = -9

Então, o determinante de z será a subtração da diagonal principal pela diagonal secundária.

    Dz = -3 - (-9)  →  Dz = -3 + 9  →  Dz = 6

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Tendo calculado os valores de D, Dx, Dy e Dz, calcule os valores de x, y e z.

    $x=\frac{Dx}{D}$  →  $x=\frac{0}{-3}$  →  $x=0$

    $y=\frac{Dy}{D}$  →  $y=\frac{-3}{-3}$  →  $y=1$

    $z=\frac{Dz}{D}$  →  $z=\frac{6}{-3}$  →  $z=-2$

S = {(0, 1, -2)}