Question

Resolva por completo as inequações a seguir:
a) (2x²-7x+6).(2x²-7x+5) ≤ 0

b) (x²-x-6).(-x²+2x-1) > 0

Answer 1

Vamos lá.

Bem,  Cintitimat, como você recolocou a questão, mas agora com a escrita correta da primeira equação do item "b" (e da segunda também, pois, na primeira vez você havia colocado que era "-x²-2x-1" e agora colocou: "-x²+2x-1"), vamos procurar dar a resposta para as duas questões, mas tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.    

a) (2x²-7x+6).(2x²-7x+5) ≤ 0

Note que aqui no item "a" temos uma inequação-produto. Ou seja, temos o produto entre duas equações do 2º grau, cujo resultado deverá ser MENOR OU IGUAL A ZERO.
Tem-se: f(x) = 2x²-7x+6 e tem-se g(x) = 2x²-7x+5.

Vamos encontrar as raízes de cada uma para, depois, fazermos a análise da variação de sinais de cada uma delas e, no fim, vermos qual é o domínio da inequação-produto [f(x)*g(x) ≤ 0].

a.i) Raízes de f(x) = 2x²-7x+6 ---- aplicando Bháskara, teremos:
x = [-(-7)+-√(-7)²-4*2*6)]/2*2
x = [7+-√(49-48)]/4
x = [7+-√(1)]/4 ----- como √(1) = 1, então ficaremos:
x = [7+-1)/4 ---- daqui você já poderá concluir que:
x' = (7-1)/4 = 6/4 = 3/2 (após dividirmos numerador e denominador por 2)
e
x'' = (7+1)/4 =  8/4 = 2

a.ii) Raízes de g(x) = 2x²-7x+5- ---- Aplicando Bháskara, teremos:

x = [-(-7)+-√(-7)²-4*2*5)]/2*2
x = [7+-√(49-40)]/4
x = [7+-√(9)]/4 ------- como √(9) = 3, ficaremos assim:
x = [7+-3]/4 ----- daqui você conclui que:
x' = (7-3)/4 = 4/4 = 1
e
x'' = (7+3)/4 = 10/4 = 5/2 (após dividirmos numerador e denominador por "2"). <--- Olha aí o motivo de uma das raízes ser "5/2", ok?

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. E, no final, encontraremos o intervalo do domínio da inequação produto. Assim:

a) f(x) = 2x²-7x+6..+ + + + + + + + + +(3/2)- - - - --(2)+ + + + + + + + +...
b) g(x) = 2x²-7x+5..+ + + + + (1)- - - - - - - - - - - - - - - - - - (5/2)+ + + +...
c) a*b. . . . . . . . . . + + + + + (1)- - - - (3/2)+ + + +(2)- - - -(5/2)+ + + +...

Como queremos que o resultado f(x)*g(x) seja menor ou igual a zero, então só nos interessa onde tiver sinal de MENOS no item "c" acima, que nos dá o resultado do produto de f(x) por g(x). Assim, os intervalos de domínio da inequação dada serão:

1 ≤ x ≤ 3/2; ou:  2 ≤ x ≤ 5/2

Se quiser, você também poderá apresentar o domínio (D) da inequação acima da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3/2; ou:  2 ≤ x ≤ 5/2}

Ou, ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = [1; 3/2] ∪ [2; 5/2]


b) (x²-x-6).(-x²+2x-1) > 0

Agora vamos para o questão do item "b", com as duas equações "mudadas" (note que antes tínhamos: "x²-x+6" e "-x²-2x-1". Agora temos: "x²-x-6" e "-x²+2x-1".

Aqui no item "b" também temos o produto entre duas funções do 2º grau, cujo resultado terá que ser MAIOR DO QUE ZERO.
Temos f(x) = x²-x-6; e temos g(x) = - x²+2x-1.
Faremos a mesma coisa que fizemos na questão anterior: encontraremos as raízes de cada uma das funções. Assim:

b.i) Raízes de f(x) = x²-x-6

x = [-(-1)+-√(-1)²-4*1*(-6)]/2*1
x = [1+-√(1+24)]/2
x = [1+-√(25)]/2 ----- Como √(25) = 5,
x = [1+-5]/2 ----- daqui você conclui que:
x' = (1-5)/2 = (-4)/2 = - 2
e
x'' = (1+5)/2 = (6)/2 = 3

b.ii) Raízes de g(x) = -x²+2x-1 ----- aplicando Bháskara, teremos:

x = [-2+-√(2²-4*(-1)*(-1)]/2*(-1)
x = [-2+-√(4-4)]/-2
x = [-2+-√(0)]/-2 ----- como √(0) = 0, então teremos:
x = [-2+-0]/-2 ----- daqui você já conclui que:
x' = x'' = (-2)/-2 = 1 .

Agora vamos encontrar a variação de sinais das duas funções e proceder da mesma forma que fizemos na primeira questão. Assim:

a) f(x) = x²-x-6 ...... + + + + + + + (-2)- - - - - - - - - - - - (3)+ + + + + + + + ...
b) g(x) = -x²+2x-1.. - - - - - - - - - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - -....
c) a*b . . . . . . . . . .- - - - - - - - - - (-2)++++(1)+++++++(3)- - - - - - - - - - - ...

Assim, como queremos que o produto f(x)*g(x) seja MAIOR DO QUE ZERO, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos dá o resultado do produto de f(x)*g(x) > 0. 

-2 < x < 1 ou 1 < x < 3.

Se quiser, também poderá apresentar o domínio (D) da seguinte forma, o que é a mesma coisa;

D = {x ∈ R | -2 < x < 1 ou 1 < x < 3}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser dado assim, o que significa o mesmo:

D = (-2; 1) ∪ (1; 3) .

É isso aí.
Deu pra entender bem agora?

OK?
Adjemir.